Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 79
Determine o valor de c, tal que a função , para e , satisfaça as propriedades de uma função de uma função densidade de probabilidade conjunta.
Determine o seguinte:
- A distribuição de probabilidade marginais da variável aleatória X.
- A distribuição de probabilidade condicionais de Y, dado que X=1.
- A distribuição de probabilidade condicionais de X, dado que Y=1
Passo 1
A função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X satisfaz os seguintes:
Disto, podemos encontrar a constante c. A função de densidade de probabilidade é definida como:
considerando isso, a integral torna-se
A partir da segunda equação é fácil calcular a constante c. Isto é:
Das equações 2 e 3, temos:
Passo 2
Letra a:
Sendo cuidadoso com os limites das integrais, temos:
Passo 3
Letra b:
Considerando que não temos limites para Y, a probabilidade é:
Passo 4
Letra c:
Não há limites para e . Portanto:
Passo 5
Letra d:
Considerando o fato de que , temos:
Passo 6
Letra e:
Uma vez que a variável aleatória que nos é dada é contínua, porque temos função densidade que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:
Calculamos as funções de densidade marginal como:
Combinando essas duas equações, temos:
Passo 7
Letra f:
De novo, combinando as duas equações da letra e, onde calculamos a distribuição marginal
para Y, nós temos:
Passo 8
Letra g:
Das duas equações da letra e, nós temos:
Passo 9
Letra h:
Para duas variáveis aleatórias X e Y, a distribuição de probabilidade condicional pode ser calculado como:
Dessa equação, temos:
Passo 10
Letra i:
De forma semelhante à equação da letra h, temos:
onde podemos calcular da mesma forma que fizemos :
Portanto: