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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 82

Os tempos de vida de seis componentes principais em uma copiadora são variáveis aleatórias exponenciais e independentes, com médias de 8000 horas, 10000 horas, 10000 horas, 20000 horas, 20000 horas e 25000 horas, respectivamente.

  1. Qual é a probabilidade dos tempos de vida de todos os componentes excederem 5000 horas?
  2. Qual é a probabilidade de no mínimo o tempo de vida de um componente exceder 25000 horas?

Passo 1

Seja as variáveis aleatórios X 1 ,   X 2 ,   X 3 , X 4 , X 5 , X 6 representam a vida útil dos seis componentes em uma copiadora, com média de 8000, 10000, 10000, 20000, 20000 e

25000 horas, respectivamente.

X segue a distribuição exponencial.

A função de distribuição de probabilidade de X é:

f ( x ; λ ) = λ e - λ x ,   x ≥ 0

f ( x ; λ ) = 0 ,   x < 0

Se a média é θ , então λ = 1 θ

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a probabilidade de que os tempos de vida de todos os componentes

excedam 5000 horas.

P ( X > x ) = ∫ x ∞ 1 θ e - t / θ d t

= e - x / θ

= e - 5000 / 8000 e - 5000 / 10000 e - 5000 / 10000 e - 5000 / 20000 e - 5000 / 20000 e - 5000 / 25000

= 0.0978

Passo 3

Letra b:

Vamos determinar a probabilidade de que pelo menos a vida útil de um componente

excede 25.000 horas. Em outras palavras, temos que encontrar P ( X 1 < 25000 ,   X 2 < 25000 , . . . , X 6 > 25000 )

1 - [ P ( X 1 < 25000 ) P ( X 2 < 25000 ) . . . P ( X 6 < 25000 ) ]

= 0.7408

Resposta

  1. 0.0978
  2. 0.7408
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