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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 80

A distribuição conjunta das variáveis aleatórias contínuas X, Y e Z é constante ao longo da região x 2 + y 2 ≤ 1 ,   0 < z < 4 . Determine o seguinte:

  1. P ( X 2 + Y 2 ≤ 0.5 )
  2. P ( X 2 + Y 2 ≤ 0.5 , Z < 2 )
  3. A função densidade de probabilidade condicional conjunta de X e Y, dado que Z=1
  4. A função densidade de probabilidade marginal de X.
  5. A média condicional de Z, dado que X=0 e Y=0
  6. A média condicional de X, dado que X=x e Y=y.

Passo 1

Ao lidar com este tipo de tarefas, a primeira coisa que precisamos saber é sobre o que a região representa no espaço. No nosso caso nós temos:

x 2 + y 2 ≤ 1

que é um círculo e 0 < z < 4 . Juntos, eles representam um cilindro. Agora que sabemos com o que estamos lidando, podemos definir os limites da integral dependendo do que precisamos, ou mesmo calcular o volume da região que precisamos (uma vez que a distribuição de probabilidade conjunta é constante). Como acabamos de mencionar, a distribuição de probabilidade conjunta é constante 1 v o l u m e   . Portanto:

f X Y Z ( x , y , z ) = 1 4 π

onde a área de base é

1 2 × π

e a altura é 4.

Passo 2

Letra a:

Novamente, da mesma forma que calculamos a função de probabilidade conjunta, nós vamos calcular a probabilidade

P ( X 2 + Y 2 ≤ 0.5 ) = 1 4 π × 4 × 0.5 π = 1 2

onde,

x 2 + y 2 ≤ 0.5

representa o círculo com raio 0.5 ,   e     1 4 π é a função de densidade de probabilidade conjunta, e

4 × 0.5 π

representa o volume da região.

Passo 3

Letra b:

Aqui só temos que ter cuidado com o que é a região, com a mesma explicação acima, nós temos:

P ( X 2 + Y 2 ≤ 0.5 ,   Z ≤ 2 ) = 1 4 π × 2 × 0.5 π = 1 4

Passo 4

Letra c:

Para três variáveis ​​aleatórias X,Y e Z, a distribuição de probabilidade condicional ( X , Y ) | Z = z pode ser calculado como:

f ( X , Y ) | Z = z ( x , y ) = f X Y Z ( x , y , z ) f Z ( z )

Daí, temos:

f ( X , Y ) | Z = 1 ( x , y ) = f X Y Z ( x , y , 1 ) f Z ( 1 )

Para continuar, precisamos de f Z ( 1 ) , que pode ser complicado de calcular. Primeiro, vamos lembrar que calculamos as funções de densidade marginal como:

f Z ( z ) = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f X Y Z ( x , y , z ) d x d y

No nosso caso, a região é o círculo x 2 + y 2 ≤ 1 , então:

f Z ( z ) = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f X Y Z ( x , y , z ) d x d y = 1 4 π π = 1 4 ,   z ∈ ( 0,4 )

f Z ( z ) = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f X Y Z ( x , y , z ) d x d y = 1 4 π π = 0 ,   c a s o   c o n t r á r i o

Passo 5

Letra d:

Da mesma forma para Z, calculamos a função de densidade de probabilidade marginal para X com:

f X ( x ) = ∫ 0 4 ∫ - 1 - x 2 1 - x 2 1 4 π d y d z = 1 4 π ∫ 0 4 ( 1 - x 2 + 1 - x 2 ) d y =

= 1 2 π 1 - x 2 × 4 = 2 π 1 - x 2 ,   x ∈ ( - 1,1 )

Onde calculamos a integral como acima, porque temos um círculo x 2 + y 2 ≤ 1 , então é daí que vêm os limites.

Passo 6

Letra e:

A fim de encontrar a média condicional (expectativa), precisamos encontrar a função de densidade de probabilidade condicional

f Z | x = 0 ,   y = 0 ( z ) = f X Y Z ( 0,0 , z ) f X Y ( 0,0 )

A função de densidade de probabilidade f X Y ( x , y )   é:

f X Y ( x , y ) = ∫ 0 4 1 4 π d z = 1 π

Para x 2 + y 2 ≤ 1 ,   0 caso contrário. Então,

f Z | X = 0 ,   Y = 0 ( z ) = f X Y Z ( 0,0 , z ) f X Y ( 0,0 ) = 1 4 π 1 π = 1 4

para z ∈ ( 0,4 ) ,   0 caso contrário.

Finalmente, a expectativa de Z | X = 0 ,   Y = 0 é:

E ( Z | x = 0 ,   Y = 0 ) = ∫ - ∞ ∞ z f Z | X = 0 , Y = 0 ( z ) d z = 1 4 z d z = 2

Passo 7

Letra f:

Novamente, a fim de encontrar a média, nós precisamos de:

f Z | X = x ,   Y = y ( z ) = f X Y Z ( x , y , z ) f X Y ( x , y ) = 1 4 π 1 π = 1 4

Para x ∈ ( 0,4 ) ,   0 caso contrário. Portanto:

E ( Z | X = x ,   Y = y ) = 2

Resposta

  1. P ( X 2 + Y 2 ≤ 0.5 ) = 1 2
  2. P ( X 2 + Y 2 ≤ 0.5 ,   Z ≤ 2 ) = 1 4
  3. f ( X , Y ) | Z = 1 ( x , y ) = 1 π , para x 2 + y 2 ≤ 1
  4. f X ( x ) = 2 π 1 - x 2 ,   x ∈ ( - 1,1 )
  5. E ( Z | X = 0 ,   Y = 0 ) = 2
  6. E ( Z | X = x ,   Y = y ) = 2
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