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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 82

10-82. Suponha que desejemos testar a hipótese .contra

com variâncias orf e o, conhecidas. Um total de n, + n

Nobservações podem ser obtidas. Como essas observações devem

estar alocadas nas duas populações para maximizar a probabilidade

de que Ho seja rejeitada. se H, for verdadcira e

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Como ambas as variações são conhecidas, para testar a hipótese, podemos usar a estatística

Z = X - 1 - X - 2 - μ 1 - μ 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

que tem uma distribuição normal padrão. Isso implica que

P - z α / 2 ≤ Z ≤ z α / 2 = 1 - α

Queremos maximizar a probabilidade de rejeitar H 0 se H 1 for verdadeiro. Isso é igual a minimizar

P - z α 2 ≤ X 1 - X - 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ≤ z α 2 ∣ μ 1 - μ 2 = Δ

que é a probabilidade de aceitar H 0 se H 1 for verdadeiro.

Portanto,

P - z α / 2 ≤ X - 1 - X - 2 σ 2 n 1 + σ 1 2 n 2 ≤ z α / 2 ∣ μ 1 - μ 2 = Δ =

= P - z α / 2 ≤ X - 1 - X - 2 - Δ + Δ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ≤ z α / 2 =

= P - z α / 2 - Δ σ 1 2 n 1 + σ 1 2 n 2 ≤ X 1 - X 2 - μ 1 - μ 2 ¯ σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ≤ z α / 2 - Δ σ 1 2 n 1 + σ 1 2 n 2 =

onde esta probabilidade é a menor (minimizada) quando

Δ σ 1 2 n 1 + σ 3 2 n 2

é o maior (maximizado).

Passo 2

Já que Δ é constante, a fim de maximizar a equação acima, eu preciso minimizar o divisor

σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2

na condição n 1 + n 2 = N (dado pelo exercício)

Portanto, uma vez que n 2 = N - n 1 , podemos minimizar a função

f n 1 = σ 1 2 n 1 + σ 2 2 N - n 1

e fazemos isso encontrando a derivada

∂ ∂ n 1 f n 1 = - σ 1 2 1 n 1 2 + σ 2 2 1 N - n 1 2

e igualamos a zero

- σ 1 2 1 n 1 2 + σ 2 2 1 N - n 1 2 = 0

do qual encontramos o mínimo

n 1 = σ 1 N σ 1 + σ 2

Como

- σ 1 2 1 n 1 2 + σ 2 2 1 N - n 1 2 = 0 ⇔ σ 2 2 n 1 2 - σ 1 2 N - n 1 2 n 1 2 N - n 1 2 = 0 ⇔ σ 2 2 n 1 2 - σ 1 2 N - n 1 2 = 0 ⇔ σ 2 2 n 1 2 = σ 1 2 N - n 1 2 ⇔ σ 2 n 1 = σ 1 N - n 1 ⇔ σ 2 n 1 + σ 1 n 1 = σ 1 N ⇔ n 1 σ 2 + σ 1 = σ 1 N ⇔ n 1 = σ 1 N σ 2 + σ 1 ⇔

Podemos usar para encontrar n 2 , que é N - n 1

n 2 = σ 2 N σ 1 + σ 2

Resposta

n 1 = σ 1 N σ 1 + σ 2 , n 2 = σ 2 N σ 1 + σ 2

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