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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 85

10-85. Em algumas situações envolvendo proporções, estamos in-

teressados na razão em vez da diferença . Podemos mostrar que tem uma distribuição normal aproximada com média e variância

a) Use a informação anterior para deduzir um intervalo de confian-

ça para In para amostra grande.

b) Mostre como encontrar um IC para para uma amostra grande.

c) Use os dados do estudo da erva-de-sao-joão do Exemplo 10-14 c

encontre um IC de 95% para Formcça uma interpreta-

ção prática para esse IC.

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Nós temos o seguinte

θ = p 1 p 2 θ ^ ˙ = p ^ 1 p ^ 2 l n ⁡ θ ^ : N n θ , n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 2

Letra a:

Devemos derivar o intervalo de confiança de grandes amostras para θ . Portanto, podemos usar estatísticas padronizadas

Z = l n ⁡ θ ^ - l n ⁡ θ n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 2 1 / 2

da qual podemos obter o intervalo de confiança ( 1 - α ) para l n θ usando a estatística anterior como

l n ⁡ θ ^ - z a / 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 4 ≤ l n ⁡ θ ≤ l n ⁡ θ ^ + z α / 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 4

Passo 2

Letra b:

Como

θ = c ln ⁡ θ

o intervalo de confiança ( 1 - α ) para 0, usando (a) é

θ ^ ⋅ e x p ⁡ - z α / 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 4 ≤ θ ≤ θ ^ ⋅ e x p ⁡ z α / 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 4

Passo 3

Letra c:

Do Exercício 10.14, temos

θ ^ = 0.27 0.19 = 1.42 n 1 = n 2 = 100 x 1 = 27 , x 2 = 19

Portanto, de (b) nós temos

1.42 ⋅ exp ⁡ - 1.96 100 - 27 2700 + 100 - 19 1900 1 4 ≤ θ ≤ 1.42 ⋅ exp ⁡ 1.96 100 - 27 2700 + 100 - 19 1900 1 4 - 1.317 ≤ θ ≤ 4.157

Observe que o intervalo de confiança contém o valor 1 (se p 1 p 2 = 1 , então p 1 = p 2 ), portanto, podemos concluir que não há diferença significativa na proporção (quando α = 0.05 ).

Resposta

  1. ln ⁡ θ ^ - z a 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 4 ≤ ln ⁡ θ ≤ ln ⁡ θ ^ + z α 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 4
  2. θ ^ ⋅ e x p ⁡ - z α / 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 4 ≤ θ ≤ θ ^ ⋅ e x p ⁡ z α / 2 n 1 - x 1 n 1 x 1 + n 2 - x 2 n 2 x 2 1 / 4
  3. - 1.317 ≤ θ ≤ 4.157 , não há diferença significativa na proporção (quando α = 0.05 ).
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