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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 78

11-78. Mostre que. para um modelo de regressão linear simples. as seguintes afirmações são verdadeiras:

  1. ∑ i = 1 n   y i     -     y - i = 0
  2. ∑ i n   y i - y ^ i x i = 0
  3. 1 n ∑ i = 1 n   y ^ 1 - y -

Passo 1

Faaaaaaala aí gente,

Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?

Vem comigo!!

Letra a:

Usaremos equações normais para provar isso. Vamos lembrar que:

∑ i = 1 n   y i - y ^ i = ∑ i = 1 n   y i - ∑ i = 1 n   y ^ i ∑ i = 1 n   y i = n β ^ 0 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i

Então,

∑ i = 1 n   y i - y ^ i = ∑ i = 1 n   y i - ∑ i = 1 n   y ^ i = n β ^ 0 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i - ∑ i = 1 n   y ^ i = = n β ^ 0 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i - ∑ i = 1 n   β ^ 0 + β ^ 1 x i = = n β ^ 0 + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i - n β ^ 0 - β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i = = 0

Passo 2

Letra b:

Usaremos equações normais para provar isso. Vamos lembrar que:

∑ i = 1 n   y i x i = β ^ 0 ∑ i = 1 n   x i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 2

Então,

∑ i = 1 n   y i - y ^ i x i = ∑ i = 1 n   y i x i - ∑ i = 1 n   y ^ i x i = = β ^ 0 ∑ i = 1 n   x i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 2 - ∑ i = 1 n   β ^ 0 + β ^ 1 x i x i = = β ^ 0 ∑ i = 1 n   x i + β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 2 - β ^ 0 ∑ i = 1 n   x i - β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i 2 = 0

Passo 3

Letra c:

Vamos provar que:

1 n ∑ i = 1 n   y ^ i = 1 n ∑ i = 1 n   β ^ 0 + β ^ 1 x i = = 1 n n β ^ 0 + 1 n β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i = 1 = 1 y - - β ^ 1 x - + 1 n β ^ 1 ∑ i = 1 n   x i = = y - - β ^ 1 x - + β ^ 1 x - = = y -

(1):  aqui usamos a estimativa   β ^ 0 = y - - β ^ 1 x -

Resposta

  1. ∑ i = 1 n   y i - y ^ i = 0
  2. ∑ i = 1 n   y i - y ^ i x i = 0
  3. 1 n ∑ i = 1 n   y ^ i = y -
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