Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 92
11-92. Considere o modelo de regressão linear simples com E(c)= 0 e V(E) = 2, estando os erros e não correlacionados.
a) Mostre que
b) Mostre que
Passo 1
Faaaaaaala aí gente,
Vamos fazer uma daquelas questões passo a passo?
Vem comigo!!
Suponha que um modelo de regressão linear simples é dado, onde os erros não são correlacionados com média zero e variância constante
Para mostrar (a) e (b), deve-se partir do fato de que o estimador do parâmetro desconhecido é dado por:
devido ao fato de que:
Passo 2
Primeiro, prove primeiro que é um estimador imparcial de . Temos o seguinte:
onde o mesmo fato acima
foi usado e o fato de que
Isso era para ser visto.
Passo 3
Segundo, encontre a variância do estimador . Para fazer isso, o fato de que as variáveis aleatórias são independentes precisa ser usado como segue
A partir de
Passo 4
Terceiro, prove que o estimador é um estimador imparcial do parâmetro . O estimador pode ser escrito como
Então, o valor esperado é fácil de ser calculado como
Então, pelas propriedades da covariância e pela independência , temos que:
que era para ser visto para a parte (b). Finalmente, a variância do estimador é
Então, para (a), pode-se ver que a concordância dos estimadores é dada por