Enunciado

12-4.A energia cletrica consumida mensalmente por uma indtistria

quimica esta relacionada a temperatura media ambiente (x,),ao nume-

ro de dias no mesfr.).a pureza media do produto(xJeas toneladas do

produto produzido(x:).Os dados historicos do ano passado estao

disponiveis e sao apresentados na seguinte tabela:

(a)Ajuste um modelo de regressao linear multipla a esses dados.

(b)Estime o'.

(c)Calcule os crros-padrao dos coeficientes de regressao.

(d)Preveja o consumo de energia para um mes em quex,-75"F.x=

24 dias.x,=90%cx=98 toneladas.

Passo 1

Letra a:

A matriz X então contém 1's na primeira coluna, os valores x 1 na segunda coluna, os valores Ill na terceira coluna, os valores x 3 na quarta coluna e os valores x 4 na quinta coluna:

X = 1 25 24 91 100 1 31 21 90 95 1 45 24 88 110 … 1 38 23 89 98

A matriz y contém os valores y:

y = 240 236 270 … 261

Os coeficientes da equação de predição de segunda ordem são então encontrados calculando X T X - 1 ( X y )

β ^ = X T X - 1 X ' y = - 123.1312 0.7573 7.5188 2.4831 - 0.4811

A equação de regressão então se torna:

y ^ = - 123.1312 + 0.7573 x 1 + 7.5188 x 2 + 2.4831 x 3 - 0.4811 x 4

Passo 2

Letra b:

A soma dos quadrados dos erros é:

S S E = y ' y - y ' X X T X - 1 X T y = [ 972.4639 ]

A estimativa da variância σ 2 é então o erro de quadrados dividido pela diferença do tamanho da amostra e o número de parâmetros (número de colunas de X ' X - 1

σ ^ 2 = S S E n - p = 972.4639 12 - 5 = 972.4639 7 ≈ 138.9234

Passo 3

Letra c:

X T X - 1 = 178.0079 … … … … … 0.0006 … … … … … 0.1158 … … … . … … 0.0236 … … … … … 0.0022

O erro padrão é a raiz quadrada do produto da estimativa da variância σ 2 e o elemento C i i da matriz X ' X - 1 :

S E β ^ 0 = σ ^ 2 C 00 = 138.9234 178.0079 ≈ 157.2560 S E β ^ 1 = σ ^ 2 C 11 = 138.9234 0.0006 ≈ 0.2887 S E β ^ 2 = σ ^ 2 C 22 = 138.9234 0.1158 ≈ 4.0109 S E β ^ 3 = σ ^ 2 C 33 = 138.9234 0.0236 ≈ 1.8107 S E β ^ 4 = σ ^ 2 C 44 = 138.9234 ( 0.0022 ) ≈ 0.5528

Todos os parâmetros do modelo não são estimados com a mesma precisão, porque os erros padrão diferem muito para parâmetros diferentes.

Passo 4

Letra d:

Substitua x 1 na equação de regressão por 75, x 2 por 24, x 3 por 90 e x 4 por 98:

y ^ = - 123.1312 + 0.7573 ( 75 ) + 7.5188 ( 24 ) + 2.4831 ( 90 ) - 0.4811 ( 98 ) = 290.4487

Resposta

  1. y ^ = - 123.1312 + 0.7573 x 1 + 7.5188 x 2 + 2.4831 x 3 - 0.4811 x 4
  2. 138.9234
  3. 157.2560,0.2887,4.0109,1.8107,0.5528 ,  Não
  4. 290.4487
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