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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 17

25% dos universitários de São Paulo praticam esporte. Escolhendo-se, ao acaso, 15 desses estudantes determine a probabilidade de:

  1. Pelo menos 2 deles serem esportistas.
  2. No mínimo 12 deles não serem esportistas.
  3. Havendo mais de 5 esportistas no grupo, obtermos menos de 7 que praticam esportes.

Passo 1

Temos uma distribuição binomial, seguindo o seguinte modelo:

P X = x = n k ⋅ p k ⋅ 1 - p n - k

Sendo X = número de esportistas.

Em (a) queremos saber a probabilidade de pelo menos 2 do nosso grupo de 15 estudantes serem esportistas, assim:

P X ≥ 2 = 1 - P X = 0 - P X = 1

P X ≥ 2 = 1 - 15 0 ⋅ 0,25 0 ⋅ 0,75 15 - 15 1 ⋅ 0,25 1 ⋅ 0,75 14

P X ≥ 2 = 1 - 15 ! 0 ! 15 ! 0,25 0 ⋅ 0,75 15 - 15 ! 14 ! 1 ! ⋅ 0,25 1 ⋅ 0,75 14

P X ≥ 2 = 1 - 0,01336 - 0,0668 = 0,91984

Passo 2

Em (b) queremos saber a probabilidade de no mínimo 12 não serem esportistas, ou seja, P ( X ≥ 12 ) . Só que ao invés do nosso p ser 0,25, p = 0,75 , assim:

P X ≥ 12 = P X = 12 + P X = 13 + P X = 14 + P ( X = 15 )

P X ≥ 12 = 15 12 ⋅ 0,7 5 12 ⋅ 0,2 5 3 + 15 13 ⋅ 0,7 5 13 ⋅ 0,2 5 2 + 15 14 ⋅ 0,7 5 14 ⋅ 0,2 5 1 - 15 15 ⋅ 0,7 5 15 ⋅ 0,2 5 0

P X ≥ 12 = 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ! 3 ! 12 ! 0,0317 ⋅ 0,0156 + 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ! 2 ! 13 ! 0,0238 ⋅ 0,0625 + 15 ⋅ 14 ! 1 ! 14 ! 0,0178 ⋅ 0,25 + 15 ! 0 ! 15 ! 0,0134 ⋅ 1

P X ≥ 12 = 0,225 + 0,156 + 0,067 + 9,3 × 10 - 10 = 0,461

Passo 3

Já em (c) queremos saber a probabilidade de obtermos menos de 7 que não praticam esportes sabendo que no grupo temos mais de 5 esportistas, ou seja, P 5 ≤ X < 7 X > 5 , daí, resolvendo por partes, teremos:

P X > 5 = 1 - [ P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 ]

P X > 5 = 1 - 15 ! 0 ! 15 ! 0,25 0 ⋅ 0,75 15 + 15 ! 1 ! 15 ! 0,25 1 ⋅ 0,75 14 + 15 ! 2 ! 13 ! 0,25 2 ⋅ 0,75 13 + 15 ! 3 ! 12 ! 0,25 3 ⋅ 0,75 12 + 15 ! 4 ! 11 ! 0,25 4 ⋅ 0,75 11 + 15 ! 5 ! 10 ! 0,25 5 ⋅ 0,75 10

P X > 5 = 1 - 0,851632 = 0,148368

P 5 ≤ X < 7 = P X = 6 = 15 ! 6 ! 9 ! 0,25 6 ⋅ 0,75 9 = 0,09175

Assim, teremos que:

P 5 ≤ X < 7 X > 5 = 0,09175 0,148368 = 0,6184

Resposta

  1. 0,91984;
  2. 0,461 ;
  3. 0,6184.
Ver Outros Exercícios desse livro

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