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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 84

2-84. Uma batelada de 500 reservatórios para suco congelado de laranja contém 5 que são defeituosos. Dois são selecionados ao acaso, sem reposição, da batelada.

  1. Qual é a probabilidade de que o segundo reservatório selecionado seja defeituoso, dado que o primeiro foi defeituoso?
  2. Qual é a probabilidade de que ambos sejam defeituosos?
  3. Qual é a probabilidade de que ambos sejam aceitáveis?

    4. Três reservatórios são selecionados, ao acaso e sem reposição, da batelada.

  4. Qual é a probabilidade de que o terceiro reservatório selecionado seja defeituoso, dado que o primeiro e os segundo selecionados foram defeituoso?
  5. Qual é a probabilidade de que o terceiro reservatório selecionado seja defeituoso, dado que o primeiro selecionado foi defeituoso e o segundo selecionado foi aceitável?
  6. Qual é a probabilidade de que todos os três reservatórios sejam defeituosos?

Passo 1

Vamos começar separando os dados:

Número total de reservatórios = 500

Número de reservatórios defeituosos = 5

2 reservatórios são selecionados aleatoriamente

Sem substituição.

Solução:

Vamos fazer com que A n indique que o número do reservatório n selecionado é defeituoso.

Então, na letra a:

Uma vez que a seleção é feita sem substituição e dado que o primeiro reservatório selecionado está com defeito (os reservatórios com defeito são reduzidos em um), portanto:

P ( A 2 | A 1 ) = 4 499 = 0.008016

Passo 2

Letra b:

P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 ) × P ( A 2 | A 1 )

A probabilidade de que o primeiro selecionado seja defeituoso = N ú m e r o   d e   r e s e r v .   d e f e i u t o s o s T o t a l   d e   r e s e r v .

P ( A 1 ) = 5 500 = 0.01

Então,

P ( A 1 A 2 ) = 0.01 × 0.008016 = 8.016 × 1 0 - 5

Passo 3

Letra c:

A probabilidade de ambos serem aceitáveis é:

P ( A ' 1 A ' 2 ) = 495 500 × 494 499 = 0.9801

Passo 4

Letra d:

Os reservatórios com defeito são reduzidos em dois:

P ( A 3 | A 2 A 1 ) = 3 498 = 1 166

Passo 5

Letra e:

O número de reservatórios com defeito é reduzido em um e o número de reservatórios aceitáveis é reduzido em 1:

P ( A 3 | A ' 2 A 1 ) = 4 498 = 2 249

Passo 6

Letra f:

P ( A 1 A 2 A 3 ) = P ( A 3 | A 2 A 1 ) × P ( A 1 A 2 ) = 1 166 × 8.016 × 1 0 - 5 = 4.83 × 1 0 - 7

Resposta

  1. P ( A 2 | A 1 ) = 0.008016
  2. P ( A 1 A 2 ) = 8.016 × 1 0 - 5
  3. P ( A ' 1 A ' 2 ) = 0.9801
  4. P ( A 3 | A 2 A 1 ) = 1 166
  5. P ( A 3 | A ' 2 A 1 ) = 2 249
  6. P ( A 1 A 2 A 3 ) = 4.83 × 1 0 - 7
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