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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 40

7-40.Suponha quc X seja uma variavel aleatoria com media desconhecida p e variancia conhecida o.A distribuicao previa para p e uma distribuicao uniforme.detinida no intervalo la.bl.

（al Encontre a distrbuicao posterior de p.

（b)Encontre o estimador de Bayes para p.

Passo 1

A distribuição de probabilidade conjunta da amostra X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n e o parâmetro θ ( θ é uma variável aleatória) é:

f x 1 , x 2 , … , x n , θ = f x 1 , x 2 , … , x n ∣ θ f ( θ )

e a distribuição marginal de X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n é:

f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ f x 1 , x 2 , … , x n , θ         , θ   d i s c r e t o   ∫ - ∞ ∞   f x 1 , x 2 , … , x n , θ d θ         , θ   c o n t í n u o  

Portanto, a distribuição desejada é:

f θ ∣ x 1 , x 2 , … , x n = f x 1 , x 2 , … , x n , θ f x 1 , x 2 , … , x n

Definimos o estimador de Bayes de θ   como o valor θ ^   que corresponde à média da distribuição posterior f ( θ | x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Passo 2

Letra a:

Primeiro, precisamos encontrar a função de densidade de probabilidade conjunta. A variável aleatória X segue a distribuição normal, portanto, a função de densidade de probabilidade de X é

f ( x ∣ μ ) = 1 σ 2 π e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2 , x ∈ R

e a distribuição anterior para μ   é uma distribuição uniforme definida ao longo do intervalo [ a , b ] , portanto, a função de densidade de probabilidade é

f ( μ ) = 1 b - a , μ ∈ [ a , b ]

A função de densidade de probabilidade conjunta é

f ( x , μ ) = 1 σ 2 π e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2 × 1 b - a = 1 b - a σ 2 π e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2   f o r   x ∈ R , μ ∈ [ a , b ]

Agora podemos encontrar a distribuição marginal, que é

f ( x ) = 1 b - a ∫ a b   1 σ 2 π e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2 d μ

Visto que a e b são constantes, temos que usar a função cumulativa normal padronizada, portanto, nós o transformamos com

μ - x σ = t 1 σ d μ = d t μ = b t = b - x σ μ = a t = a - x σ

Passo 3

Então, temos:

f ( x ) = 1 b - a ∫ a - x σ b - x σ   1 2 π e - t 2 2 d t = 1 b - a Φ b - x σ - Φ a - x σ

onde Φ é a função de distribuição cumulativa de uma distribuição normal padrão com média zero e desvio padrão 1.

Para simplificar outras expressões, denote Φ 1 : = Φ b - x σ - Φ a - x σ .

Finalmente, a distribuição posterior para μ   é:

f ( μ ∣ x ) = f x , μ f x = b - a Φ 1 × 1 b - a σ 2 π e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2 = = 1 Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2 , μ ∈ [ a , b ]

Passo 4

Letra b:

Como mencionamos na introdução, o estimador Bayesiano para μ   é a média da distribuição posterior. Portanto

μ ~ = ∫ a b   μ Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2 d μ = = x - μ = t - d μ = d t μ = b t = x - b μ = a t = x - a = - ∫ x - a x - b   1 Φ 1 2 π σ ( x - t ) e x p ⁡ - t 2 2 σ 2 d t = ( 1 )

= 1 ∫ x - b x - a   x Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - t 2 2 σ 2 d t - ∫ x - b x - a   t Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - t 2 2 σ 2 d t = 2 = 2 x Φ 2 Φ 1 - ∫ x - b x - a   t Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - t 2 2 σ 2 d t = 3 = ( 3 ) x + σ Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - ( x - a ) 2 2 σ 2 - e x p ⁡ ( x - b ) 2 2 σ 2

( 1 ) : aqui usamos - na frente da integral para alterar os limites;

( 2 ) : obtemos Φ 2 = Φ x - a σ - Φ x - b σ . Da mesma forma que obtivemos Φ 1

( 3 ) : primeiro observamos que Φ 1 = Φ 2 ( Φ ( x ) = Φ ( - x ) ) . A segunda integral é

∫ x - b x - a   t Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - t 2 2 σ 2 d t = t 2 2 σ 2 = u t σ 2 d t = d u t = x - b u = ( x - b ) 2 2 σ 2 t = x - a u = ( x - a ) 2 2 σ 2 = = ∫ ( x - b ) 2 2 σ 2 ( x - a ) 2 2 σ 2   σ Φ 1 2 π σ e - u d u = σ Φ 1 2 π σ ∫ ( x - b ) 2 2 σ 2 ( x - a ) 2 2 σ 2   e - u d u =

= - σ Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - ( x - a ) 2 2 σ 2 - e x p ⁡ ( x - b ) 2 2 σ 2

Resposta

  1. f μ x = 1 Φ 1 2 π σ exp ⁡ - ( x - μ ) 2 2 σ 2
  2. μ ~ = x + σ Φ 1 2 π σ e x p ⁡ - ( x - a ) 2 2 σ 2 - e x p ⁡ ( x - b ) 2 2 σ 2
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