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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 59

Quando o desvio-padrao da amostra for baseado em uma amostra aleatoria de tamanhon,proveniente de uma populacao normal.pode ser mostrado que S e um esumador tendencioso para o.Especificamente, E(S)-oV2/(n-I)I(n/2)/T(n-1)/2

（a)Use esse resultado para obter um estimador nao-tendencioso para o.da forma c5.quando a constante c.depender do tamanho da amostran.

（b)Encontre o valor de c.paran=10en=25.Geralmente.em relacao a tendenciosidade,quao bom eo desempenho de S como um estimador de o para valores grandes de n?

Passo 1

Letra a:

Só precisamos definir a constante de forma E ( s ) = σ , portanto

c n = 1 Γ ( n / 2 ) 2 / ( n - 1 ) ⋅ Γ n - 1 2

como sabemos a expectativa de S, apenas tomamos o valor recíproco da constante ao lado de σ   para obter 1 × σ 2 . No final, terminamos com E ( c n S ) = σ .

Passo 2

Letra b:

Para n = 10

c 10 = 1 Γ ( 5 ) 2 / 9 ⋅ Γ 9 2 = 1.03

e para n = 20 ;

c 25 = 1 Γ ( 25 / 2 ) 2 / 24 ⋅ Γ 24 2 = 1.01

Γ ( z ) é a função gama definida como:

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞   x z - 1 e - x d x

para z ∈ C onde z tem parte real positiva. Se n ∈ N , o seguinte é válido para a função gama:

Γ ( n ) = ( n - 1 ) !  and  Γ 1 2 = π  and  Γ 1 2 n = ( n - 2 ) ! ! π 2 ( n - 1 ) / 2

onde n ! ! é fatorial duplo.

Ele se comporta muito bem para grandes e pequenos n   como um estimador para o desvio padrão - a constante é próxima a um, o que significa que a expectativa será próxima a σ .

Resposta

  1. c n = 1 Γ n 2 2 n - 1 ⋅ Γ n - 1 2
  2. c 10 = 1.03 , c 25 = 1.010 , ver resposta
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