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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 58

7-58.Um lote consiste em N transistores c.desses.M(M=N)são defeituosos.Selecionamos.aleatoriamente,dois transistores sem reposicio desse lote e determinamos se eles sao ou nao-defeituosos. A variavel aleatoria 1,se o i-esimo transistor for nao-defeituoso se o i-esimo transistor for deteituoso

Determine a funcao densidade conjunta de probabilidade para Xie X.Quais sao as funcoes marginais de probabilidade para Xie X: As variaveis aleatorias X,e X.sao independentes?

Passo 1

Vamos primeiro determinar a função de probabilidade conjunta. Todos os eventos possíveis são X 1 = i , X 2 = j , i , j = 0,1 , pode ser defeituoso ou não defeituoso, portanto,

f X 1 , X 2 ( 0,0 ) = P X 1 = 0 , X 2 = 0 = 1 M N ⋅ M - 1 N - 1 f X 1 , X 2 ( 0,1 ) = P X 1 = 0 , X 2 = 1 = 2 M N ⋅ N - M N - 1 f X 1 , X 2 ( 1,0 ) = P X 1 = 1 , X 2 = 0 = 3 N - M N ⋅ M N - 1 f X 1 , X 2 ( 1,1 ) = P X 1 = 1 , X 2 = 1 = ( 4 ) N - M N ⋅ N - M - 1 N - 1

Passo 2

( 1 ) : existem M defeitos de N, portanto, uma vez que X 1 = 0 significa que pegamos o transistor defeituoso, a probabilidade é M N e multiplicamos isso pela probabilidade de tomarmos um defeito do M - 1 restante (o primeiro estava com defeito e não o devolvemos). Portanto, a probabilidade é M - 1 N - 1 .

( 2 ) : a primeira parte é a mesma, para a segunda parte, uma vez que estamos rastreando no transistor não defeituoso ( X 2 = 1 ) , existem N - M no total não defeituoso, dividido pelo número de transistores restantes (total), que é N - 1 (já pegamos um);

( 3 ) : mesma coisa para ( 2 ) , mas na ordem diferente.

( 4 ) : igual ao anterior, mas estamos procurando por dois não defeituosos, então temos N - M dividido por N e para a segunda parte, já pegamos um, portanto a probabilidade é N - M - 1 dividido por N - 1 .

Passo 3

As distribuições marginais são, para X 1 :

f X 1 ( 0 ) = P X 1 = 0 = M N f X 1 ( 1 ) = P X 1 = 1 = N - M N

e para X 2 (o segundo transistor depende do primeiro.)

f X 2 ( 0 ) = P X 2 = 0 = P X 2 = 0 ∣ X 1 = 0 P X 1 = 0 + P X 2 = 0 P X 2 = 0 ∣ X 1 = 1 P X 1 = 1 = = M - 1 N - 1 ⋅ M N + M N - 1 ⋅ N - M N = M N f X 2 ( 1 ) = P X 2 = 1 = N - M N - 1 ⋅ M N + N - M - 1 N - 1 ⋅ N - M N = N - M N

Obviamente não são independentes, a prova é que

P X 2 = 0 ∣ X 1 = 0 = M - 1 N - 1 ≠ M N = P X 2 = 0

Resposta

  1. Ver resposta. Eles não são independentes
  2. f X 1 ( 0 ) = M N , f X 1 ( 1 ) = N - M N
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