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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 64

7-64.Seja X uma variavel aleatoria com media u e variancia oe seja X.X......X.uma amostra aleatoria de tamanho n,provenicnte de X.Mostre que a estatistical'-ke um estimador nao-ten- dencioso para o,para uma escolha apropriada da constante k.Encontre esse valor para k.

Passo 1

X é uma variável aleatória com média μ   e variância σ 2 .

Seja X 1 , X 2 , ⋯ , X n uma amostra aleatória de tamanho n de X.

Vamos mostrar que V = k ∑ i = 1 n - 1   X i + 1 - X i 2 é um estimador imparcial de σ 2 e vamos encontrar k:

V = k ∑ i = 1 n - 1   X i + 1 - X i 2 = k ∑ i = 1 n - 1   X i + 1 - X - - X i - X - 2 = k ∑ i = 1 n - 1   X i + 1 - X - 2 - ∑ i = 1 n - 1   X i - X - 2 - ∑ i = 1 n - 1   X i + 1 - X - X i - X -

Passo 2

Como X 1 , X 2 , ⋯ , X n são as amostras aleatórias, então o termo de covariância é zero.

Então,

V = k ⋅ E ∑ i = 1 n - 1   X i + 1 - X - 2 - ∑ i = 1 n - 1   X i - X - 2

Passo 3

E ( V ) = k ⋅ ∑ i = 0 n - 1   X i + 1 - X - 2 + X 1 - X - 2 - X 1 - X - 2 - ∑ i = 1 n - 1   X i - X - 2 + X n - X - 2 - X n - X - 2 = k ⋅ n - 1 s 2 - X 1 - X - 2 + n - 1 s 2 - X n - X - 2 = k ⋅ 2 n - 1 σ 2 - E - X 1 - X - 2 - X n - X - 2 = k ⋅ 2 n - 1 σ 2 - E - X 1 - X - 2 - X n - X - 2

= k ⋅ 2 n - 1 σ 2 - E - X 1 2 - X - 2 + 2 X 1 X - - X n 2 - X - 2 - 2 X n X - = k ⋅ 2 n - 1 σ 2 - - E X 1 2 - E X - 2 + 2 X - E X 1 - E X n 2 - E X - 2 + 2 X - E X n = k ⋅ 2 ( n - 1 ) σ 2 - - V X 1 + E X 1 2 - μ 2 + 2 X - E X 1 - V X n + E X n 2 - μ 2 + 2 X - E X n

= k ⋅ 2 n - 1 σ 2 - - σ 2 + μ 2 - μ 2 + 2 μ 2 - σ 2 + μ 2 - μ 2 + 2 μ 2 = k ⋅ 2 ( n - 2 ) σ 2 E ( V ) = σ 2 ⇒ k = 1 2 ( n - 2 )

Resposta

E ( V ) = k ⋅ 2 ( n - 2 ) σ 2 k = 1 2 ( n - 2 )

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