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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 62

7-62.Estatisticas Ordenadas,Seja X.X......X.uma amostra aleatonia de tamanho n.proveniente de X.uma variavel aleatoria tendo a funcao distribuicao F(r.Ordene os elementos em ordem crescente de magnitude numerica,resultandoemXx X.m.sendoX o menor clemento da amostra(X,=min(X.X. X.DeXeo maior elemento da amostratX,=max{X.X......X.}.X.c chamado dai-esima estatistica ordenada.Frequentemente,a distnbuicao de algumas estatisticas ordenadas e de interesse.particularmente aquelas dos valores amostrais minimo e maximo.X,,c X.respectivamente.

（a)Prove que as funcoes de distribuicoes cumulativas dessas duas estatisticas ordenadas.denotadas respectivamente por F(D)e

（b)Prove que se X for continua,com funcao densidade de probabilidade fx).entao as distribuicoes de probabilidades de Xe Xserao

（c)SejaX.,X.....,X.uma amostra aleatoria de uma variavel aleatoria de Bernoulli com parametro p.Mostre que

（d)Seja X,X..X.uma amostra aleatoria de uma variavel aleat6nia normal com media p e variancia o.Deduza as funcoes densidade de probabilidade de X,eX

（e)SejaX.X......X.uma amostra aleatonia de uma variavel aleatoria exponencial com parametro A.Deduza as funcoes de distribuicao cumulativac as funcoes densidade de probabilidade para Xex

Passo 1

Letra a:

Sejam x ∈ R as funções de distribuição cumulativa:

F X n ( x ) = P X n ≤ x = 1 P X 1 ≤ x , … , X n ≤ x = P X 1 ≤ x ⋅ P X 2 ≤ x ⋅ … ⋅ P X n ≤ x = 2 = ( 2 ) P X 1 ≤ x n = [ F ( x ) ] n

( 1 ) : se o máximo for menor ou igual a x , então todos eles são;

( 2 ) : todas as variáveis ​​aleatórias têm a mesma distribuição; e

F X 1 ( x ) = P X 1 ≤ x = 1 - P X 1 > x = 1 1 - P X 1 > x , … , X n > x = = 1 - P X 1 > x n = 1 - 1 - P X 1 ≤ x n = = 1 - [ 1 - F ( x ) ] n

Passo 2

Letra b:

As funções de densidade de probabilidade, nas hipóteses são

f X 1 ( x ) = ∂ ∂ x F X 1 ( x ) = n [ 1 - F ( x ) ] n - 1 f ( x ) f X ( n ) ( x ) = ∂ ∂ x F X ( n ) ( x ) = n [ F ( x ) ] n - 1 f ( x )

onde usamos o fato de que F ' ( x ) = f ( x )

Passo 3

Letra c:

A variável aleatória Bernoulli com o parâmetro p pode assumir dois valores, 0 e 1, portanto

P X n = 1 = 1 - P X n = 0 = 1 - P X n ≤ 0 = 1 - F X n ( 0 ) = 1 = ( 1 ) 1 - [ F ( 0 ) ] n = 1 - ( 1 - p ) n

( 1 ) : aqui usamos (a), e:

P X ( 1 ) = 0 = P X ( 1 ) ≤ 0 = F X ( 1 ) ( 0 ) = ( 1 ) 1 - [ 1 - F ( 0 ) ] n = 1 - p n

( 1 ) : aqui também usamos (a).

Em ambos, usamos que F ( 0 ) = 1 - p .

Passo 4

Letra d:

A fim de derivar as funções de distribuição cumulativa e as funções de densidade de probabilidade, usaremos a função conhecida Φ ( x ) = P ( U ≤ x ) para distribuição normal padrão, e a variável aleatória é U : N ( 0,1 ) (temos uma tabela de valores para esta função). Portanto

F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ - ∞ x   1 2 π σ e - ( x - μ ) 2 2 σ 2 d x = ( 1 ) Φ x - μ σ

( 1 ) : aqui apenas substituímos t = x = μ σ e obtemos a função de densidade de probabilidade normal padrão. Usando isso, de (a) podemos calcular tudo o que precisamos da seguinte forma

F X 1 ( x ) = 1 - 1 - Φ x - μ σ n F X n ( x ) = Φ x - μ σ n f X 1 ( x ) = n 1 - Φ x - μ σ n - 1 1 2 π σ e - ( x - μ ) 2 2 σ 2 f X ( n ) ( x ) = n Φ x - μ σ n - 1 1 2 π σ e - ( x - μ ) 2 2 σ 2

Passo 5

Letra e:

Sabemos que F ( x ) = P ( X ≤ x ) = 1 - e - λ x  para   x > 0 . Portanto, usando (a):

F X 1 ( x ) = 1 - e - n λ x F X n ( x ) = 1 - e - λ x n f X 1 ( x ) = n λ e - n λ x f X ( n ) ( x ) = n 1 - e - λ x n - 1 λ e - λ x

onde usamos apenas que f ( x ) = λ e - λ x e apenas substituímos em (a).

Resposta

  1. F X n ( x ) = [ F ( x ) ] n , F X 1 ( x ) = 1 - [ 1 - F ( x ) ] n
  2. f X 1 ( x ) = n [ 1 - F ( x ) ] n - 1 f ( x ) , f X n ( x ) = n [ F ( x ) ] n - 1 f ( x )
  3. P X n = 1 = 1 - ( 1 - p ) n , P X 1 = 0 = 1 - p n
  4. F X ( 1 ) ( x ) = 1 - 1 - Φ x - μ σ n F X ( n ) ( x ) = Φ x - μ σ n f X ( 1 ) ( x ) = n 1 - Φ x - μ σ n - 1 1 2 π σ e - ( x - μ ) 2 2 σ 2 f X ( n ) ( x ) = n Φ x - μ σ n - 1 1 2 π σ e - ( x - μ ) 2 2 σ 2
  5. F X ( 1 ) ( x ) = 1 - e - n λ x F X ( n ) ( x ) = 1 - e - λ x n f X ( 1 ) ( x ) = n λ e - n λ x f X ( n ) ( x ) = n 1 - e - λ x n - 1 λ e - λ x
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