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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 60

7-60.Uma colecao de n itens,selecionados aleatoriamente,medida duas vezes por um operador que usa um medidor.Sejam X,c Y, os valores medidos para o i-esimo item.Suponha que essas duas vanaveis aleatonias sejam independentes e normalmente distribui das e que ambas tenham uma media verdadeira u,e variancia o

（a)Mostre que o estimador de maxima verossimilhanca de oe

（1/4n)"(X)-Y)

（b)Mostre que o e um estimador tendencioso para o.O que acontece a tendenciosidade a medida que n se torna grande?

（c)Encontre um estimador nao-tendencioso para .

Passo 1

Letra a:

Em casos como este, temos que nos livrar da média, pois é diferente para cada parte. Portanto, definimos novas variáveis ​​aleatórias

Z i = Y i - X i , i = 1,2 , …

que é obviamente distribuído normalmente, com parâmetros

E Z i = E Y i - X i = E Y i - E X i = μ i - μ i = 0 , i = 1,2 , … n V a r ⁡ Z i = V a r ⁡ Y i - X i = V a r ⁡ Y i + V a r ⁡ X i = σ 2 + σ 2 = 2 σ 2 , i = 1,2 , … n

( 1 ) : aqui usamos o fato de que as variáveis ​​aleatórias são independentes.

Portanto, Z i : N 0 , σ ~ 2 , σ ~ 2 = 2 σ 2 , i = 1,2 , … n , encontrar o máximo estimador de probabilidade para ∂ 2 é a chave para a solução

Passo 2

A função de verossimilhança é:

L z 1 , z 2 , … , z n ; σ ~ 2 = ( 1 ) ∏ i = 1 n   1 2 π σ ~ e x p ⁡ - 1 2 σ ~ 2 z i 2 = 1 2 π σ ~ 2 n / 2 e x p ⁡ - 1 2 σ ~ 2 ∑ i = 1 n   z i 2

( 1 ) : as variáveis ​​aleatórias são independentes, é por isso que temos produto. Além disso, eles são da distribuição normal, então a função de densidade de probabilidade tem esta aparência. Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança, precisamos encontrar a derivada. Usaremos log-verossimilhança (não altera os pontos máximos), portanto,

l n ⁡ L z 1 , z 2 , … , z n ; σ ~ 2 = - n 2 l n ⁡ 2 π - n 2 l n ⁡ σ ~ 2 - 1 2 σ ~ 2 ∑ i = 1 n   z i 2

A derivada é:

d l n ⁡ L z 1 , z 2 , … , z n ; σ ~ 2 d σ ~ 2 = - n 2 1 σ ~ 2 + 1 2 1 σ ~ 4 ∑ i = 1 n   z i 2

Igualando a derivada à zero, encontraremos o máximo

- n 2 1 σ ~ * 2 + 1 2 1 σ ~ * 4 ∑ i = 1 n   z i 2 = 0 - n σ ~ * 2 + ∑ i = 1 n   z i 2 = 0

σ ~ * 2 = 1 n ∑ i = 1 n   z i 2 σ ~ * 2 = 1 n ∑ i = 1 n   y i - x i 2 2 σ ^ 2 = 1 n ∑ i = 1 n   y i - x i 2 σ ^ 2 = ( 1 ) 1 2 n ∑ i = 1 n   y i - x i 2

( 1 ) : aqui usamos o fato de que ∂ 2 = 2 ∂ 2 , e a partir disso o estimador de máxima verossimilhança é obtido desta forma.

Note que há um erro na formulação do exercício. Este é o estimador correto.

Passo 3

Letra b e c:

Precisamos mostrar que ∂ 2 é um estimador parcial para σ 2 (novamente erro na formulação do exercício, ele/ela precisava de café kkkk). Observe:

E σ ^ 2 = E 1 2 n ∑ i = 1 n   Y i - X i 2 = 1 2 n E ∑ i = 1 n   Y i 2 - 2 Y i X i + X i 2 = = 1 2 n ∑ i = 1 n   E Y i 2 - 2 E Y i X i + E X i 2 = = 1 1 2 n ∑ i = 1 n   σ 2 + μ i 2 - 2 μ i 2 + σ 2 + μ i 2 = = 1 2 n n σ = σ

( 1 ) :   V a r ⁡ Y i = E Y i 2 - E Y i 2  e  V a r ⁡ X i = E X i 2 - E X i 2 e E Y i X i = E Y i E X i = μ i 2

porque eles são independentes.

O que significa que o estimador é imparcial! Isso também resolve (c).

Resposta

  1. 1 2 n ∑ i = 1 n   y i - x i 2
  2. E c) E σ ^ 2 = σ 2 , que é imparcial
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