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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 95

8-95.Um componente eletrico tem uma distribuicao exponencial para o tempo de falha(ou tempo de vida), com parametro A,de modo que o tempo medio de vida é u = 1 / A . Suponha que uma amostra de n desses componentes seja testada e seja X o tempo de vida observa-do do componente i. O teste continua somente até a r-esima unidade falhar, sendo r < n . Isso resulta em um teste de vida censurado. Seja X o tempo no qual a primeira falha ocorreu, Xo tempo no qual asegunda falha ocorreu e assim por diante. Então o tempo total devida quc tem sido acumulado ao termino do teste é

T T = ∑ i = 1 r X i + ( n - r ) X P

Mostramos previamente no Exercicio 7-66 que T T / r é um estimadornao-tendencioso para u.

  1. Pode ser mostrado que 2 A T , tem uma distribuicao qui-quadrado com 2r graus de liberdade. Use esse fato para desenvolver umintervalo de confianca de 100 ( 1 - a ) para o tempo medio de vida u = 1 / A .
  2. Suponha que 20 unidades foram testadas, sendo o termino dostestes considerado quando 10 falhas ocorrerem. Os tempos (em horas) de falha sao 15, 18, 19, 20, 21, 21, 22, 27, 28, 29. Encontre um intervalo de confianca de 95% para o tempo medio de vida.

Passo 1

Oi galera, vamos a mais uma resolução passo a passo pra vocês!

Temos:

T r = ∑ i = 1 r   X i + ( n - r ) X r E 1 r T r = μ

onde, μ = 1 λ

Passo 2

Letra a:

Para obter um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para μ , usaremos o fato de que 2 λ T r tem uma distribuição qui-quadrado com 2 r graus de liberdade. Portanto, de

P χ 1 - α 2 , 2 r 2 < 2 λ T r < χ α 2 , 2 r 2 = 1 - α

temos

P χ 1 - α 2 , 2 r 2 2 T r < λ < χ α 2 , 2 r 2 2 T r = P χ 1 - α 2 , 2 r 2 2 T r < 1 μ < χ α 2 , 2 r 2 2 T r

a partir do qual obtemos o intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) %

2 T r χ 0 2 , 2 r , 2 T r χ 1 - α 2 , 2 r 2 para μ .

Passo 3

Letra b:

Temos que n = 20 e r = 10 . Usando isso, temos

T 10 = ( 15 + 18 + 19 + 20 + 21 + 21 + 22 + 27 + 28 + 29 ) + ( 20 - 10 ) ⋅ 29 = 220 + 290 = 510

Os valores para a distribuição Qui-quadrado são computados usando o Excel, e eles são

χ 1 - α 2 , 2 r 2 = 9.59 χ 2 2 , 2 r 2 = 34.17

Portanto, o intervalo de confiança é

2 ⋅ 510 34.17 , 2 ⋅ 510 9.59 = [ 29.85,106.36 ]

Resposta

  1. 2 T r χ 2 2 , 2 r , 2 T r χ 1 - q , 2 r 2
  2. [ 29.85,106.36 ]
Ver Outros Exercícios desse livro

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