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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 81

Suponha que há n tentativas x^ x2> ..., xfi de um

processo de Bernoulli com parâmetro p, a probabilidade

de um sucesso. Ou seja, a probabilidade de r sucessos é

dada por(" )pr ( 1 - p)n' r. Encontre o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro p.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que x 1 , x 2 , … … . , x n são n ensaios de um processo de Bernoulli com parâmetro p ser a probabilidade de sucesso.

f ( x / p ) =   n c x p x ( 1 - p ) ( n - x ) ; x = 0,1 , 2 , … … … . . , n .

Sabemos que a função de verossimilhança é L = L x 1 , x 2 , … , x n ; p = ∏ i = 1 n   f x 1 / p

  ⇒ L = ∏ i = 1 2       n c x i p x i ( 1 - p ) n - x i L = ∏ i = 1 n     n x i p x i ( 1 - p ) n - x i   = ∏ i = 1 n     n x i p ∑ i = 1 n     x i ( 1 - p ) i = 1 n - x i   = ∏ i = 1 n     n x i p ∑ i = 1 n     x i ( 1 - p ) n - ∑ i = 1 n     x i   ⇒ l n ⁡ L = ∏ i = 1 2     c n c x i + ∑ i = 1 n     x i l n ⁡ p + n - ∑ i = 1 n     x i l n ⁡ ( 1 - p )   ⇒ ∂ l n ⁡ L ∂ p = ∑ i = 1 n     x i p - n - ∑ i = 1 n     x i ( 1 - p )

Passo 2

A resolução de p ˆ , o estimador de máxima verossimilhança (M.L.E.) envolve a configuração da derivada como zero e a resolução do parâmetro.

  Ent ã o   ∂ l n ⁡ L ∂ p = 0 ⇒ ∑ i = 1 n     x i p - n - ∑ i = 1 n     x i ( 1 - p ) = 0   ⇒ ∑ i = 1 n     x i p - n - ∑ i = 1 n     x i ( 1 - p ) = 0   ⇒ ( 1 - p ) p = n - ∑ i = 1 n     x i ∑ i = 1 n     x i ⇒ 1 p - 1 = n ∑ i = 1 n     x i - 1 p ˆ = ∑ i = 1 n     x i n = x ‾

Resposta

Resposta nos passos.

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