Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 106

9.106. Suponha que estejamos testando /1: p

Suponha que p seja o valor verdadeiro da proporção da populaçào.

{a) Usando o

300, considerando p - 0,6. Comente o efeito do tamanho da amos

tra sobre a potencia do teste.

(b) Usando = 0,01.cncontre a poténcia do teste para n 100, 150 e

300, considerando p - 0,6. Compare suas respostas com aquelas ob-

tidas no item (a) e comente o efeito de oY sobre a poténcia do teste

para diferentes tamanhos de amostras.

(e) Usando o - 0.05. encontre a poténcia do teste para 2

derando p - 0.08. Compare sua resposta com aquela obtida no item

(a)e comente o efeito do valor verdadeiro de p sobre a poténcia do

teste para o mesmo nivel a e tamanho de amostra.

0,05. encontre a poténcia do teste para n- 100, 150 e

100. consi

(0,01. qual o tamanho requerido da amostra, se p (0,6

e se quisermos B - 0,05? Qual o tamanho requerido de amostra se

0.05? Compare os dois tamanhos de

amostra e comente o cteito do valor verdadciro de p soobre o tama-

nho requerido da amostra, quando B for mantido aproximadamente

(d) Usando a

p = 0,8 e se quisermos B

constante.

Passo 1

Faaaala aí,

Vamo aprender uma questão aqui?

Vamo!

Determine as hipóteses:

H 0 : p = 0.5 H 0 : p ≠ 0.5

Letra a:

Dado:

p a = 0.6 n = 100,150,300 α = 0.05

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine os valores z correspondentes a uma probabilidade de   α 2 = 0.05 2 = 0.025  e   1 - α 2 = 1 - 0.05 2 = 0.975

z = ± 1.96

A proporção da amostra correspondente é a proporção da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 1.96 0.5 1 - 0.5 100 ≈ 0.402 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 1.96 0.5 1 - 0.5 100 ≈ 0.598 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 1.96 0.5 1 - 0.5 150 ≈ 0.42 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 1.96 0.5 1 - 0.5 150 ≈ 0.58 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 1.96 0.5 1 - 0.5 300 ≈ 0.4434 p ^ = p + z p ( 1 - p ) n = 0.5 + 1.96 0.5 ( 1 - 0.5 ) 300 ≈ 0.5565

Passo 2

Determine o valor da estatística de teste (usando a hipótese alternativa):

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.402 - 0.6 0.6 1 - 0.6 100 ≈ - 4.04

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.598 - 0.6 0.6 ( 1 - 0.6 ) 100 ≈ - 0.04

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.42 - 0.6 0.6 1 - 0.6 150 ≈ - 4.50

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.58 - 0.6 0.6 1 - 0.6 50 ≈ - 0.50 z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.4434 - 0.6 0.6 ( 1 - 0.6 ) 300 ≈ - 5.54

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.5565 - 0.6 0.6 ( 1 - 0.6 ) 300 ≈ - 1.54

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela A.

n = 100 : P = P ( Z < - 4.04   o u   Z > - 0.04 ) = 0 + 0.515953 = 0.515953 n = 150 : P = P ( Z < - 4.50   o u   Z > - 0.50 ) = 0 + 0.691462 = 0.691462 n = 300 : P = P ( Z < - 5.54   o u   Z > - 1.54 ) = 0 + 0.938220 = 0.938220

Conforme o tamanho da amostra aumenta, a potência também aumenta.

Passo 3

Letra b:

Dado:

p a = 0.6 n = 100,150,300 α = 0.01

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine os valores z correspondentes a uma probabilidade de     α 2 = 0.01 2 = 0.005  e  1 - α 2 = 1 - 0.01 2 = 0.995

z = ± 2.58

A proporção da amostra correspondente é a proporção da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 2.58 0.5 1 - 0.5 100 ≈ 0.371 p ˙ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 2.58 0.5 1 - 0.5 100 ≈ 0.629 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 2.58 0.5 1 - 0.5 150 ≈ 0.3947 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 2.58 0.5 1 - 0.5 150 ≈ 0.6053 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 2.58 0.5 1 - 0.5 300 ≈ 0.4255 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 2.58 0.5 1 - 0.5 300 ≈ 0.5745

Passo 4

Determine o valor da estatística de teste (usando a hipótese alternativa):

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.371 - 0.6 0.6 1 - 0.6 100 ≈ - 4.67 z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.629 - 0.6 0.6 1 - 0.6 100 ≈ 0.59

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.3947 - 0.6 0.6 1 - 0.6 150 ≈ - 5.13 z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.6053 - 0.6 0.6 ( 1 - 0.6 ) 150 ≈ 0.13

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.4255 - 0.6 0.6 1 - 0.6 300 ≈ - 6.20 z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.5745 - 0.6 0.6 ( 1 - 0.6 ) 300 ≈ - 0.90

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela A.

n = 100 : P = P ( Z < - 4.67   o u   Z > 0.59 ) = 0 + 0.277595 = 0.277595 n = 150 : P = P ( Z < - 5.13   o u   Z > 0.13 ) = 0 + 0.448283 = 0.448283 n = 300 : P = P ( Z < - 6.20   o u   Z > - 0.90 ) = 0 + 0.815940 = 0.815940

Conforme o tamanho da amostra aumenta, a potência aumenta também. Conforme o nível de significância α diminui, a potência diminui.

Passo 5

Letra c:

Dado:

p a = 0.08 n = 100,150,300 α = 0.05

A potência é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa for verdadeira.

Determine os valores z correspondentes a uma probabilidade de   α 2 = 0.05 2 = 0.025  e   1 - α 2 = 1 - 0.05 2 = 0.975

z = ± 1.96

A proporção da amostra correspondente é a proporção da população (da hipótese) aumentada pelo produto do valor z e o desvio padrão:

p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 1.96 0.5 1 - 0.5 100 ≈ 0.402 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 1.96 0.5 1 - 0.5 100 ≈ 0.598 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 1.96 0.5 1 - 0.5 150 ≈ 0.42 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 + 1.96 0.5 1 - 0.5 150 ≈ 0.58 p ^ = p + z p 1 - p n = 0.5 - 1.96 0.5 1 - 0.5 300 ≈ 0.4434 p ^ = p + z p ( 1 - p ) n = 0.5 + 1.96 0.5 ( 1 - 0.5 ) 300 ≈ 0.5565

Passo 6

Determine o valor da estatística de teste (usando a hipótese alternativa):

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.371 - 0.08 0.08 ( 1 - 0.08 ) 100 ≈ 10.73

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.629 - 0.08 0.08 ( 1 - 0.08 ) 100 ≈ 20.24

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.3947 - 0.08 0.08 1 - 0.08 150 ≈ 14.21

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.6053 - 0.08 0.08 1 - 0.08 150 ≈ 23.71 z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.4255 - 0.08 0.08 ( 1 - 0.08 ) 300 ≈ 22.06

z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n = 0.5745 - 0.08 0.08 ( 1 - 0.08 ) 300 ≈ 31.57

Determine a probabilidade de rejeitar a hipótese nula usando a tabela A.

n = 100 : P = P ( Z < 10.73   o u   Z > 20.24 ) ≈ 1 n = 150 : P = P ( Z < 14.21   o u   Z > 23.71 ) ≈ 1 n = 300 : P = P ( Z < 22.06   o u   Z > 31.57 ) ≈ 1

Como a proporção alternativa p está mais longe da proporção hipotética, a potência aumenta.

Passo 7

Letra d:

Dado:

α = 0.01 β = 0.05 p = 0.6 / 0.8

O tamanho da amostra da fórmula é:

n = z α / 2 p 0 1 - p 0 + z β p 0 1 - p 0 p - p 0 2

Determine z α / 2 = z 0.005 usando a tabela III (procure 0.005 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z α / 2 = 2.58

Determine z β = z 0.005 usando a tabela III (procure 0.005 na tabela, o valor z é então o valor z encontrado com sinal oposto):

z β = 1.64

O tamanho da amostra então se torna (arredondar para cima!):

p = 0.6 ⇒ n = 2.58 0.5 1 - 0.5 + 1.64 0.5 1 - 0.5 0.6 - 0.5 2 = 445 p = 0.8 ⇒ n = 2.58 0.5 ( 1 - 0.5 ) + 1.64 0.5 ( 1 - 0.5 ) 0.8 - 0.5 2 = 50

À medida que o meio alternativo se torna mais extremo, o tamanho mínimo das amostras torna-se menor.

Resposta

  1. 0.515953, 0.691462, 0.938220. Conforme o tamanho da amostra aumenta, a potência também aumenta.
  2. 0.277595, 0.448283, 0.815940. Conforme o tamanho da amostra aumenta, a potência também aumenta. Conforme o nível de significância α diminui, a potência diminui.
  3. 1,1,1. Como a proporção alternativa p   está mais longe da proporção hipotética, a potência aumenta.
  4. 445, 50. À medida que a média alternativa se torna mais extrema, o tamanho mínimo das amostras se torna menor.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ao empregarmos várias leis de falhas, verificamos que a distribuição exponencial desempenha um papel particularmente importante, e, consequentemente, é importante ser capaz de decidir se uma particula
Em uma malha de 165 células, o número de grãos de grafita em cada célula foi contado. Os dados da Tab. 15.2 foram obtidos. Teste a hipótese de que o número de grãos em cada célula seja uma variável al
9-89. C'onsidere a seguinte tabela de freqüencias de observacoes para avariável alcatória X.（a) Bascado nessas 50 observaçõcs. a distribuição binomial.comn-6ep= 0.25.é um modelo apropriado? Faça um pr
9-90. Defina X como o numeru de earrafas cheias. de forma incmple-ta. em uma operação de enchimento de 24 garrafas commidas em umacaixa. Setenta e cinco caixas são inspecionadas e as seguintes observa
9.91. O) número de carros passando através da interseção da AvenidaCruzeiro com a Avenida Ceniral foi tahelado por um grupo de estudantes de engenharia civil. Eles obtiveram os seguintes dados:（a) A s