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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 20

9-20.Um fabricante esta interessado na voltagem de saida de um forne-

cimento de energia usado em um computador pessoal.A voltagem de

saidaconsiderada normalmente distribuida.com desvio-padraoigual

a0.25 V.O fabricante deseja lestar lleH-5VcontraH5V

usando n=8unidades.

（a)A regiao de aceitacio4.85 T 5.15.Encontre o valor de a.

（b)Encontre a potencia do teste para detectar uma vollagem de saida

media verdadeira de 5.1 V.

Passo 1

A probabilidade de cometer um erro do tipo I é

α = P  erro tipo I  = P  rejeita  H 0  quando  H 0   é verdadeiro                        1

Às vezes, a probabilidade de erro do tipo I é chamada de nível de significância, erro- α , ou o tamanho do teste.

Sabemos que o desvio padrão é 0.25 volt, e o fabricante deseja testar H 0 : μ = 5 v o l t s contra H 1 : μ ≠ 5 v o l t s , usando n = 8 unidades.

Letra a:

A região de aceitação é definida como

4.85 ≤ x - ≤ 5.15

da Equação (1), a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( 4.85 > x -   q u a n d o   μ = 5 ) + P ( x - > 5.15   q u a n d o   μ = 5 ) = P 4.85 - 5 0.25 8 > x - - μ σ n   quando   μ = 5 + x - - μ σ n > 5.15 - 5 0.25 8 = ( * ) P ( z < - 1.697 ) + P ( z > 1.697 )

( * ) : A distribuição da variável aleatória

z = x - - μ σ / n

é aproximadamente normal com média μ , e desvio padrão σ n

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é:

α = ( * * ) 2 P ( z < - 1.697 ) = 0.0897

( * * ) : Com base na simetria da distribuição normal

P ( z < - 1.697 ) = P ( z > 1.697 )

Passo 2

Letra b:

Ao avaliar um procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Que é:

β = P  erro tipo II = P  falha em rejeitar  H 0  quando  H 0  é falso                   ( 1 )

O poder de um teste estatístico é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula H 0 quando a hipótese alternativa é verdadeira.

A potência é calculada como 1 - β e a potência pode ser interpretada como a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa.

A média verdadeira da tensão de saída é μ = 5.1   v o l t s , a partir da Equação (1), obtemos

β = P ( 4.85 ≤ x - ≤ 5.15   q u a n d o   μ = 5.1 ) = P 4.85 - μ σ n ≤ x - - μ σ n ≤ 5.15 - μ σ n   quando   μ = 5.1 = P 4.85 - 5.1 0.25 8 ≤ x - - 5.1 2 8 ≤ 5.15 - 5.1 0.25 8 = P ( - 2.8284 ≤ z ≤ 0.5657 ) = P ( z ≤ 0.5657 ) - P ( z ≤ - 2.8284 )

Do Apêndice Tabela III, a probabilidade de erro tipo II é

β = 0.71186

Portanto, a potência do teste para detectar uma verdadeira tensão média de saída de 5.1 volts é

1 - β = 0.28814

Resposta

  1. α = 0.0897
  2. 1 - β = 0.28814
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