Enunciado

No Exercicio 9-10,encontre o limite da regiao critica,se a probabilidade do erro tipo I for

Passo 1

A probabilidade de cometer um erro tipo I é

α = P (  erro tipo I ) = P  rejeita  H 0  quando  H 0  é verdadeiro).                  (1) 

Às vezes, a probabilidade de erro tipo I é chamada de nível de significância, erro- α ou tamanho do teste.

A média é considerada μ = 100 , e o desvio padrão é σ = 2 .

Passo 2

Letra a:

Sabemos que a probabilidade de erro do tipo I é α = 0.01 e n = 9 , então, da Equação (1), obtemos

0.01 = P x c 1 > x -  quando  μ = 100 + P x - > x c 2  quando  μ = 100 = P x c 1 - 100 2 9 > x - - μ σ n  quando  μ = 100 + x - - μ σ n > x c 2 - 100 2 9 = * P z < z c 1 + P z > z c 2

( * ) : A distribuição da variável aleatória

Z = x - - μ σ / n

é aproximadamente normal com média μ   e desvio padrão σ n .

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é

0.01 = ( * * ) 2 P z < z c 1

( * * ) : Com base na simetria da distribuição normal

P z < z c 1 = P z > z c 2

Então, P z < z c 1 = 0.01 2 = 0.005 e,

z c 1 = - 2.58

Portanto,

x c 1 - 100 2 9 = - 2.58 x c 1 = - 2.58 × 2 / 9 + 100

Passo 3

O limite da região crítica é

x c 1 = 98.28

Agora,   P z > z c 2 = 0.01 2 = 0.005 e

z c 2 = 2.58

Então,

x c 1 - 100 2 9 = 2.58 x c 1 = 2.58 × 2 / 9 + 100

O limite da região crítica é

x c 2 = 101.72

Portanto, a região crítica é   [ 98.28 ≤ x - ≤ 101.72 ]

Passo 4

Letra b:

Sabemos que a probabilidade de erro tipo I é α = 0.05 e o tamanho da amostra n = 9 então, da Equação (1), obtemos

0.05 = P x c 1 > x -  quando  μ = 100 + P x - > x c 2  quando  μ = 100 = P z < z c 1 + P z > z c 2

Portanto, do Apêndice Tabela III. a probabilidade de erro tipo I é

0.05 = 2 P z < z c 1

Então, P z < z c 1 = 0.05 2 = 0.025 e

z c 1 = - 1.96

Então,

x c 1 - 100 2 9 = - 1.96 x c 1 = - 1.96 × 2 / 9 + 100

O limite da região crítica é

x c 1 = 98.69

Agora, P z > z c 2 = 0.05 2 = 0.025

z c 2 = 1.96

Então,

x c 1 - 100 2 9 = 1.96

x c 1 = 1.96 × 2 9 + 100

O limite da região crítica é

x c 2 = 101.31

Portanto, a região crítica é [ 98.69 ≤ x - ≤ 101.31 ]

Passo 5

Letra c:

Sabemos que a probabilidade de erro tipo I é α = 0.01 e o tamanho da amostra n = 5 então, da Equação (1), obtemos

0.01 = P x c 1 > x -  quando  μ = 100 + P x - > x c 2  quando  μ = 100 = P z < z c 1 + P z > z c 2

Portanto, a probabilidade de erro tipo I é

P z < z c 1 = 0.01 2 = 0.005

E do Apêndice III:

z c 1 = - 2.58

Então,

x c 1 - 100 2 5 = - 2.58 x c 1 = - 2.58 × 2 / 5 + 100 .

O limite da região crítica é

x c 1 = 97.6923

Agora, P z > z c 2 = 0.01 2 = 0.005 e

z c 1 = 2.58

Então,

x c 1 - 100 2 5 = 2.58 x c 1 = 2.58 × 2 / 5 + 100 .

O limite da região crítica é

x c 1 = 102.3076

Portanto, a região crítica é [ 97.6923 ≤ x - ≤ 102.3076 ]

Passo 6

Letra d:

Sabemos que a probabilidade de erro tipo I é α = 0.05 e o tamanho da amostra n = 5 então, da Equação (1), obtemos

0.05 = P x c 1 > x -  quando  μ = 100 + P x - > x c 2  quando  μ = 100 = P z < z c 1 + P z > z c 2

Portanto, a probabilidade de erro tipo I é

P z < z c 1 = 0.05 2 = 0.025

E do Apêndice III:

z c 1 = - 1.96

Então,

x c 1 - 100 2 5 = - 1.96 x c 1 = - 1.96 × 2 5 + 100

O limite da região crítica é

x c 1 = 98.2469

Agora, P z > z c 2 = 0.05 2 = 0.025 e

z c 1 = 1.96

Então,

x c 1 - 100 2 5 = 1.96 x c 1 = 1.96 × 2 / 5 + 100 .

O limite da região crítica é

x c 1 = 101.7531

Portanto, a região crítica é [ 98.2469 ≤ x - ≤ 101.7531 ]

Resposta

  1. 98.28 ≤ x - ≤ 101.72
  2. [ 98.69 ≤ x - ≤ 101.31 ]
  3. 97.6923 ≤ x - ≤ 102.3076
  4. [ 98.2469 ≤ x - ≤ 101.7531 ]
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