Enunciado
Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.6 - Ex. 25
Alguns cientistas acreditam que em média dos materiais expelidos por erupções vulcânicas são constituídos de enxofre. Seja a massa de enxofre contida a cada 2 quilos de material vulcânico. Acredita-se que essa variável não tem distribuição Normal. Uma amostra de 100 caixas de 2 quilos desse material forneceu:
- Qual a distribuição de Indique as suposições feitas.
- Formule as hipóteses e obtenha a região crítica para .
- Qual a conclusão do teste?
- Qual é a probabilidade de erro tipo , se os vulcões expelem de enxofre?
Passo 1
Antes de mais nada, vamos deixar bem claro quem é a variável aleatória até porque o enunciado faz uma baguncinha com porcentagem e quilogramas, então:
Show, mas o enunciado diz que muito provavelmente não segue uma distribuição Normal.
E agora?? Vou ter que adivinhar??
Mais ou menos, porque se você se lembrar a gente usa a aproximação pela normal padrão para realizar os testes, e para fazermos isso basta que siga uma distribuição normal.
Claro que, se seguir uma normal, consequentemente também seguirá; mas ainda que não siga, podemos usar o Teorema do Limite Central que diz que para amostras grandes, .
É só isso? Sim!
Agora perceba que não sabemos nada sobre a variância populacional, então devemos utilizar a seguinte aproximação:
Onde é a variância amostral, que pode ser calculada assim como :
E
Passo 2
Dessa forma, podemos formular o nosso teste:
Lembra que eles acreditavam que da matéria expelida era enxofre? Então se estamos tomando 2 quilos de matéria, queremos tester se é realmente enxofre.
O teste foi montado de forma que se rejeitarmos então teremos evidencias que dizem que a matéria não contém de enxofre; caso aceitemos então os cientistas estavam certos e temos evidências que mostram isso.
Beleza, agora precisamos da Região crítica:
Lembrando que na tabela de distribuição de t-student, as colunas fornecem um valor para , tal que:
Quando a RC é BILATERAL; esse é o nosso caso.
Temos que encontrar o seguinte:
Mais uma vez lembrando que na tabela não temos valores de somente de ; por isso saber que no caso bilateral é crucial!!
Agora, basta ir na coluna de e encontrar o valor que está na intersecção com a linha de 99 graus de liberdade:
Não achou? É porque muitas tabelas não vão ter mesmo, é muito grau de liberdade pra pouca tabela!
Mas note que a variação nessas altura de grau é tão pouca, que podemos aproximar, vamos então utilizar:
Portanto essa será nossa RC:
Podemos ainda representar a região crítica em termos da média, utilizando a aproximação citada no passo 1 isolando o :
Então se forçarmos o termo “” na RC, ficamos com (lembrando que o termo deve aparecer nos dois lados da inequação) :
Portanto,
Passo 3
Só nos resta realizar o teste, sempre sob
Isso significa que não pertence à RC, então devemos ACEITAR .
Ufa! Opa, pera que ainda não acabou, queremos o diaxo do erro ainda, da uma segurada e vem comigo.
Você deve lembrar que a chance de aceitarmos a hipótese nula e ela ser falsa é exatamente o que chamamos de erro ; em outras palavras:
Quando a gente aceita mesmo? Ora foi o que acabamos de fazer, quando não está na RC.
Boa, é isso mesmo! Mas nesse caso precisamos trabalhar com a RC que está em termos da média; a idéia éque vamos aceitar quando não estiver na RC.
Se então estará fora quando ou seja:
Agora, precisamos passar isso para a , só que dessa vez vamos utilizar o valor dado pelo enunciado para :
Se o enunciado diz que dessa vez da matéria será enxofre, então em dois quilos teremos de enxofre.
Basta então procurar na tabela o valor de , sempre seguindo a linha de 99 graus de liberdade:
Mais uma vez você não achou, mas percebeu que nem existe o valor 4 nessa linha? Isso porque a probabilidade de ser maior do que 4 é tão pequena, mas tão pequena que podemos dizer que é zero.
Agora, lembrando que cada metade do gráfico tem :
Portanto:
Agora sim! UFAA!
Resposta
- Pelo T.L.C, para amostras grandes, podemos dizer que segue uma distribuição Normal.
- ; e .
- Concluimos que existem evidências de que a massa de enxofre em dois quilos de matéria vulcânica, realmente é próxima de .
- .