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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 25

9-25.A proporcao de aduitos com 3egrau e vivendo em Tempe.Arizona.

c estimada comop=0.4.Para testar essa hipotese.seleciona-se uma

amostra aleatoria de 15 adultos.Se o numero de graluadlos estiver cn

tre 4e 8.a hipotese sera aceita:docontrario.coneluiremos quep0.4.

（a)Encontre a probabilidade doerro tipo I para esse procedimento.con-

siderandop=0.4.

（b)Encontre a probabilidade de cometer um erro tipo ll.se a proporcao

verdadeira for realmente p=0.2.

Passo 1

E aí galera, vamo lá?

A probabilidade de ter um erro tipo I é

α = P (  erro tipo  I   ) = P  rejeita  H 0  quando  H 0  é verdadeiro).                     (1) 

Às vezes, a probabilidade de erro do tipo I é chamada de nível de significância, o erro - α . ou o tamanho do teste.

A proporção de adultos que vivem em Tempe, Arizona, que tem 3º grau, é estimado em p = 0.4 . A hipótese H 0 : p = 4 é testada em comparação com H 1 : p ≠ 4 . Uma amostra aleatória de n = 15 adultos em Tempe é selecionada.

Passo 2

Letra a:

Se o número de graduados está entre 4 e 8, a hipótese será aceita, então, da Equação (1), a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( x - < 4   q u a n d o   p = 0.4 ) + P ( x - > 8   q u a n d o   p = 0.4 ) = P x - - n p n p 1 - p < 4 - 15 × 0.4 15 × 0.4 × 0.6 + P x - - n p n p 1 - p > 8 - 15 × 0.4 15 × 0.4 × 0.6 = P x - - n p n p 1 - p < - 1.054 + P x - - n p n p 1 - p > 1.054 = ( * ) P ( z < - 1.054 ) + P ( z > 1.054 )

( * ) A distribuição da variável aleatória

z = x - - n p n p ( 1 - p )

é aproximadamente normal.

Portanto, da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é

α = ( * * ) 2 P ( z < - 1.054 ) = 2 × 0.146859 = 0.293718

( * * ) : Com base na simetria da distribuição normal para c ∈ R

P ( z < c ) = P ( z > - c )

Passo 3

Letra b:

Ao avaliar um procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Isso é

β = P (  erro tipo II ) = P  falha em rejeitar  H 0  quando   H 0  é falso). 

A proporção verdadeira é realmente p = 0.2 , então, da Equação (1), obtemos

β = P ( 4 ≤ x - ≤ 8   q u a n d o   p = 0.2 ) = P 4 - 15 × 0.2 15 × 0.2 × 0.8 ≤ x - - n p n p 1 - p ≤ 8 - 15 × 0.2 15 × 0.2 × 0.8 = P 0.64 ≤ x - - n p n p 1 - p ≤ 3.23 = P ( z < 3.23 ) - P ( z < 0.65 )

Portanto, da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro do tipo II é

β = 0.999381 - 0.742154 = 0.257227

Resposta

  1. α = 0.293718
  2. β = 0.257227
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