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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 25

Alvie Singer vive no ponto 0 do diagrama abaixo e tem quatro amigos que vivem em A, B, C e D. Um dia, Alvie decide visitá-los e lança uma moeda duas vezes para decidir quais dos quatros visitará. Depois de chegar na casa de um amigo, ele pode retornar para casa ou continuar a visita a uma das duas casas adjacentes (como 0, A ou C quando em B), tendo cada uma das três possibilidades com probabilidade 1 3 . Dessa forma, ele continua a visitar amigos até voltar para casa

a. Seja X o número de vezes que Alvie visita um amigo. Determine a fmp em relação a X. b. Seja Y o número de segmentos de reta que Alvie percorre (incluindo os que chegam e saem de 0). Qual é a fmp de Y? c. Suponha que amigas vivam em A e C e amigos em B e D. Se Z o número de visitas a amigas, qual é a fmp de Z?

Passo 1

  1. Os valores X possíveis são 1, 2, 3, …

    2. P(1) = P(X = 1 ) = P(voltar para casa após apenas uma visita) = 1 3

    P(2) = P(X = 2) = P(segunda visita e depois voltar para casa) = 2 3 ∙ 1 3

    P(3) = P(X = 3) = P(três visitas e depois voltar para casa) = 2 3 2 ∙ 1 3

    Em geral p x = 2 3 x - 1 ( 1 3 ) para x = 1, 2, 3, …

    Passo 2

  2. O número de segmentos de linha reta é Y = 1 + X (desde o último segmento percorrido

    3. retorna Alvie para O), assim como em a, p y = 2 3 y - 2 1 3 para y=2,3,...

  3. Os valores Z possíveis são 0, 1, 2, 3 , …

p(0) = P(primeiro homem e depois em casa) = 1 2 ∙ 1 3 = 1 6 ,

p(1) = P(exatamente uma visita a uma mulher) = P(1ª mulher, depois em casa) + P(F, M, casa) +P(M, F, casa) + P(M, F, M, casa)

= 1 2 ∙ 1 3 + 1 2 ∙ 2 3 ∙ 1 3 + 1 2 ∙ 2 3 ∙ 1 3 + 1 2 ∙ 2 3 ∙ 2 3 ∙ 1 3

= 1 2 1 + 2 3 1 3 + 1 2 2 3 2 3 + 1 1 3 = 1 2 ∙ 5 3 ∙ 1 3 + 1 2 ∙ 2 3 ∙ 5 3 ∙ 1 3

onde o primeiro termo corresponde a visitar inicialmente uma mulher e o segundo termo corresponde a visitar inicialmente um macho. De forma similar,

p 2 = 1 2 ∙ 2 3 2 5 3 1 3 + 1 2 2 3 2 5 3 1 3

Em geral, p z = 1 2 2 3 2 z - 2 5 3 1 3 + 1 2 2 3 2 z - 2 5 3 1 3 = 24 54 2 3 2 z - 2 z = 1,2,3,...

Resposta

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