Enunciado

Uma amostra de 20 observações de uma variável com distribuição Normal foi colhida, obtendo-se desvio padrão 1,1 . No teste μ = 5 contra μ > 5 , foi estabelecido a região crítica t ∈ R t > 2,033 } . Determine a probabilidade do erro tipo I .

Passo 1

Temos então uma variável X qualquer com distribuição normal.

O enunciado nos diz a variância amostral S 2 , mas não diz nada sobre a variância populacional σ 2 ; portanto vamos ter de usar a seguinte aproximação:

T = X - - μ S 2 n ~ t n - 1 D i s t r i b u i ç ã o   d e   t - s t u d e n t   c o m   n - 1   g r a u s   d e   l i b e r d a d e

Teremos o seguinte teste:

H 0 : μ = 5       c o n t r a       H 1 : μ > 5

Passo 2

E foi dado pra gente também a região crítica:

R C = t 0 > 2,033

Agora, lembrando que o erro tipo I é a chance de rejeitarmos a hipótese nula sabendo que ela é verdadeira, ou seja, queremos a probabilidade de t 0 ∈ R C .

α = P E r r o   I = P t 0 > 2,033   H 0   é   v e r d a d e )  

Então basta procurarmos na tabela de t-student um valor tal que:

P T > 2,033 ⏟ t 19 ; α = α  

Como RC é unilateral, na tabela vamos ter de procurar por uma coluna com p 2 = α → p = 2 α   % e numa linha com 19 graus de liberdade:

Passo 3

Teremos de usar interpolação, pois 2,000 < 2,033 < 2,093 :

Se você lembrar, temos que fazer o seguinte:

5 - 6 2,093 - 2,000 = 5 - x 2,093 - 2,033

Isolando x chegamos em:

x = 5,64 %

Esse x representa o nosso p dito anteriormente,ou seja, como Rc unilateral:

α = p 2 = 5,64 2 = 2,822 %

E essa é exatamente a chance de cometermo um erro tipo I .

Resposta

Concluimos que a chance de rejeitarmos a hipótese nula e ela ser verdade, é de 2,82 % .

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