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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 2a

Uma variável aleatória tem distribuição normal e desvio padrão igual a 10. Uma amostra de 50 valores dessa variável forneceu média igual a 15,2. Para cada um dos testes abaixo responda qual o nível descritivo.

  1. H 0 :   μ = 18     c o n t r a     H 1 : μ = 13 ;

Passo 1

É muito importante que você perceba que temos uma variável aleatória com distribuição normal e de variância populacional conhecida σ 2 = 10 2 ; com isso podemos utilizar a seguinte aproximação para realizar o teste:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N 0,1

Agora, relembrando um pouquinho sobre o nível descritivo, nada mais é que a probabilidade de termos um valor tão mais extremo quanto for z 0 .

Após calcularmos z 0 , podemos obter o p-valor da seguinte forma:

α * = p - v a l o r = P Z < z 0 H 0   é   v e r d a d e i r a ; q u a n d o   H 1 : μ < μ 0

Ou

α * = p - v a l o r = P Z > z 0 H 0   v e r d a d e ; q u a n d o   H 1 : μ > μ o

Passo 2

Na letra A teremos o seguinte teste:

H 0 :   μ = 18     c o n t r a     H 1 : μ = 13

Realizando o teste sob H 0 :

z 0 = 15,2 - 18 100 50 = - 1,98  

Passo 3

Portanto nosso p-valor será:

P Z < - 1,98 = α *

Mas por que? Não temos o sinal de menor ou maior na hipótese alternativa. Certo, não temos mesmo, mas a definição de p-valor nos diz que ele tem que ser tão extremo quanto o z 0 , então não faz sentido dizermos que:

P Z > - 1,98 = α *

Pois isso foge da definição; não é um valor extremo.

Mas, poderíamos sim, dizer:

P Z > 1,98 = α *

Perceba que a própria simetria do gráfico normal nos diz isso, pois:

P Z < - 1,98 = P Z > 1,98 = α *

Então só precisamos buscar na tabela de distribuição normal, sempre bom lembrar que ela nos mostra a probabilidade p de ocorrer o seguinte:

P 0 ≤ Z ≤ z 0 = p

Então:

P Z < - 1,98 = 0,5 - p = α *

Portanto:

P 0 ≤ Z ≤ 1,98 = 0,47615

E então:

P Z < - 1,98 = 0,5 - 0,47615 = 0,02385

Resposta

  1. α * = 2,385 %
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