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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 84

Uma amostra aleatória foi composta de 500 eleitores registrados em Phoenix. A esses eleitores foi perguntado se seria um favor avisa o uso de combustíveis oxigenados para reduzir a população do ar ao longo do ano. Se mais de 315 eleitores responderam positivamente, concluiremos que no mínimo 60% dos eleitores são favoráveis ao uso desses combustíveis.

  1. encontre a probabilidade do erro tipo I, se exatamente 60% dos eleitores forem favoráveis ao uso desses combustíveis.
  2. Qual será a probabilidade do erro tipo II, beta, se 75% dos eleitores forem favoráveis a estação?

Passo 1

A probabilidade de cometer um erro tipo I é

α = P ( e r r o   t i p o   I ) = P ( r e j e i t a r   H 0   q u a n d o   H 0   é   v e r d a d e )

Às vezes, a probabilidade de erro do tipo I é chamada de nível de significância, o erro

α ou o tamanho do teste.

A hipótese H 0 = p = 0.6 é testada contra H 1 : p > 0.6 , uma amostra aleatória de n = 500 é selecionado.

Passo 2

Letra a:

Da primeira equação, a probabilidade de erro tipo I é:

α = P ( x _ > 315   q u a n d o   p = 0.6 )

= P x _ - n p n p ( 1 - p ) > 1.72

= P ( z > 1.72 )

= 1 - Φ ( 1.72 )

A distribuição da variável aleatória

z = x _ - n p n p ( 1 - p )

é aproximadamente normal.

Portanto, da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é:

α = 0.042716

Passo 3

Letra b:

Ao avaliar um procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar

a probabilidade de um erro do tipo II. Isso é

β = P ( e r r o   t i p o   I I ) = P ( f a l h a r   e m   r e j e i t a r   H 0   q u a n d o   H 0 é falso)

A verdadeira proporção é realmente p = 0,75, e da equação, obtemos

β = P ( x _ ≤ 315   q u a n d o   p = 0.7 5 )

= P x _ - n p n p ( 1 - p ) ≤ 0.04

= P ( z < 0.0 4 )

Portanto, da Tabela III do Apêndice. a probabilidade de erro tipo II é

β = 0.515953

Resposta

α = 0.042716

β = 0.515953

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