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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 27

Annie e Alvie combinaram encontrar-se para almoçar juntos entre meio-dia e 13h. Represente por X a hora de chegada de Annie, por Y a de Alvie, e suponha que X e Y sejam independentes com fdps

f X x = 3 x 2                 0 ≤ x ≤ 1         0             c a s o   c o n t r á r i o

f X x = 2 y                   0 ≤ x ≤ 1         0             c a s o   c o n t r á r i o

Qual é o tempo esperado que a pessoa que chega primeiro deve aguardar pela outra? [Sugestão: h X , Y = X - Y .]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O valor esperado para uma variável aleatória g ( X ,   Y ) pode ser calculado da seguinte forma:

E g ( X ,   Y ) = ∑ x ∑ y g ( x , y ) ∙ p ( x , y ) ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ g ( x , y ) ∙ f ( x , y ) d x d y

Onde, o somatório é para X e Y discretos, e as integrais X e Y contínuos.

Agora já podemos calcular os valores esperados que o enunciado nos pede. Bora lá!!

Passo 2

Podemos calcular o valor esperado da seguinte forma:

E g ( X ,   Y ) = E X - Y

= ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x - y ∙ f ( x , y ) d x d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y ∙ 6 x 2 y d x d y

= ∫ 0 1 ∫ 0 x ( x - y ) ∙ 6 x 2 y d y d x - ∫ 0 1 ∫ x 1 y - x ∙ 6 x 2 y d y d x + ∫ 0 1 ∫ x 1 6 x 2 y d y d x - ∫ 0 1 ∫ x 1 6 x 2 y d y d x

Finalizando as integrais, encontramos:

E X - Y = 1 6 + 2 3 - 3 4 + 1 6

E X - Y = 1 4

Resposta

E X - Y = 1 4

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