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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 120

Assuma X com distribuição de Weibull de parâmetros α = 2 e β . Mostre que Y = 2 X 2 / β 2 possui uma distribuição qui quadrado com v = 2 . [Sugestão: a fdc de Y é P ( Y ≤ y ) . Expresse essa probabilidade sob a forma P ( X ≤ g ( y ) ) , usando o fato de que X possui fdc da forma da Expressão (4.12) e diferencie em relação à y para obter a fdp de Y .]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O enunciado nos diz que X tem distribuição Weibull com parâmetros α = 2 e β . Então, a fdp é:

f x = 2 β 2 ∙ x ∙ exp ⁡ - x β 2                                       X ≥ 0 0                                                                               c a s o   c o n t r á r i o

Sabemos também que Y é uma função de X :

Y = 2 X 2 β 2

Logo, o fdc de Y pode ser escrito como:

F y y = P ( Y ≤ y )

= P 2 X 2 β 2 ≤ y

= P X ≤ β y 2

F y y = F x β y 2

Denotamos, então, a fdp de Y da seguinte forma:

f y y = d d y F y ( y )

f y y = β 2 y 2 ∙ f x β y 2

Agora, para y ≥ 0 , temos:

f y ( y ) = β 2 y 2 ∙ 2 β 2 ∙ β y 2 ∙ exp ⁡ - β y β 2 2

f y y = 1 2 ∙ exp ⁡ - y 2

f y y = 1 2 2 / 2 ∙ Γ ( 2 / 2 ) ∙ x 2 / 2 - 1 ∙ exp ⁡ - y 2

Portanto, no geral f y ( y ) é escrito como:

f y y = 1 2 2 / 2 ∙ Γ ( 2 / 2 ) ∙ x 2 2 - 1 ∙ exp ⁡ - y 2                                   y ≥ 0 0                                                                                                       c a s o   c o n t r á r i o

Resposta

f y y = 1 2 2 / 2 ∙ Γ ( 2 / 2 ) ∙ x 2 2 - 1 ∙ exp ⁡ - y 2                                   y ≥ 0 0                                                                                                       c a s o   c o n t r á r i o

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