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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 27

Um arranjo consiste em três componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades do primeiro, do segundo e do terceiro componentes satisfazerem as especificações sejam iguais a 0.95, 0.98 e 0.99. Considere que os componentes sejam independentes. Determine a função de probabilidade do número de componentes no arranjo que satisfazem as especificações.

Passo 1

Vamos fazer com que a variável aleatória X represente o número de componentes que atendem a especificação.

Como existem apenas dois componentes mecânicos, X assume os valores 0,1 , 2 e 3

A probabilidade de o primeiro componente não atender a especificação é 1 - 0.95 = 0.05 .

A probabilidade de o segundo componente não atender às especificações é 1 - 0.98 = 0.02

A probabilidade de o terceiro componente não atender às especificações é 1 - 0.99 = 0.01

Passo 2

A função de massa de probabilidade de X é:

A função de massa de probabilidade de X é a probabilidade de que três componentes não atendam às especificações:

P [ X = 0 ] = ( 0.05 ) ( 0.02 ) ( 0.01 ) = 0.00001

Passo 3

A probabilidade de qualquer um dos três componentes atender à especificação é:

P [ X = 1 ] = [ 0.95 ×   0.02 × 0.01 ] + [ ( 0.05 × 0.98 × 0.01 ) ] + [ 0.05 × 0.02 × 0.99 ] = 0.00167

Passo 4

A possibilidade de dois dos três componentes atenderem às especificações é:

P [ X = 2 ] = [ 0.95 × 0.98 × 0.01 ] + [ 0.95 × 0.02 × 0.99 ] + [ 0.05 × 0.98 × 0.99 ] = 0.07663

Passo 5

A probabilidade de que todos os três atendam às especificações é:

P [ X = 3 ] = ( 0.95 ) ( 0.98 ) ( 0.99 ) = 0.92169

Resposta

P [ X = 0 ] = 0.00001

P [ X = 1 ] = 0.00167

P [ X = 2 ] = 0.07663

P [ X = 3 ] = 0.92169

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