Tubos de magnétron são produzidos em uma linha de montagem mecanizada. Um plano amostrai é usado periodicamente para avaliar a qualidade no comprimento dos tubos. Essa medição é sujeita a incertezas. Acredita-se que a probabilidade de que um tubo aleatório atinja a especificação seja de 0,99. Um plano amostrai é usado no qual os comprimentos de cinco tubos são medidos.

(a) Mostre que a função de probabilidade de o número de tubos, dentre os cinco selecionados, que atingem a especificação de comprimento, é dada pela seguinte função de probabilidade discreta

Para .

(b) Suponha que seleções aleatórias sejam realizadas na linha de montagem e três tubos estejam fora das especificações. Use a dada para apoiar ou refutar a conjectura de que a probabilidade de que um único tubo atinja as especificações seja 0,99.

Vamos encontrar a probabilidade de que a variável aleatória assuma o valor para .

Para cada tudo, há uma probabilidade de de que o tubo atenda as especificações de comprimento e uma probabilidade de de não atender.

Então, se os tubos atendem as especificações de comprimento, os outros não irão atender, e a probabilidade disso é:

O que nos resta é contar o número de maneiras pelas quais se pode escolher os tubos que atendem as especificações de comprimento. Para isso, usamos combinações, que nos resulta no seguinte número de maneiras:

Por fim, a probabilidade que queremos é obtida pela multiplicação das funções que achamos:

Nós sabemos que dos 5 tubos que serão selecionados, 3 deles não atendem as especificações. Logo, já que apenas 2 dos tubos poderão atender as especificações.

Precisamos encontrar a probabilidade de que exatamente 1 de 5 tubos atendam as especificações, quando sabemos que no máximo 2 podem atender.

Usando a probabilidade condicional:

Por fim, como , então a conjectura não é verdadeira.