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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 64

O artigo “Increases in Steroid Binding Globulins Induced by Tamoxifen in Patients with Carcinoma of the Breast” (J. Endocrinology, 1978, p. 219–226) apresenta dados sobre os efeitos da droga tamoxifen na alteração do nível de globulina ligadora de cortisol (cortisol– binding globulin – CBG) dos pacientes durante o tratamento. Com idade x e CBG y, os valores resumidos são n 26, xi 1613, (xi x )2 3756,96, yi 281,9, (yi y ) 2 465,34 e xi yi 16,731. a. Calcule um IC de 90% para o coeficiente de correlação real . b. Teste H0: 0,5 versus Ha: 0,5 no nível 0,05. c. Em uma análise de regressão de y sobre x, que proporção da variação na alteração do nível de globulina ligadora de cortisol pode ser explicada pela variação na idade do paciente dentro da amostra? d. Se você decidir realizar uma análise de regressão usando a idade como variável dependente, que proporção da variação na idade é explicada pela variação em Δ CBG?

Passo 1

  1. Agora precisamos construir o intervalo de confiança de 90% para o coeficiente de correlação ρ . Temos a seguir

    2. S x y =   ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n

    = 16737 - 1613 ∙ 281.9 26

    = - 757.64

    r = S x y ∑ i = 1 n x i - x ¯ 2 ∑ i = 1 n y i - y ¯ 2

    = - 757.64 3756.96 465.34

    = - 0.57

    V = 1 2 ( ln ⁡ 1 + r - ln ⁡ 1 - r

    = 1 2 ( ln ⁡ 1 + - 0.57 - ln ⁡ 1 - - 0.57

    = - 0.65

    z 0.1 2 = N O R M S I N V 0.1

    = 1.28

    Agora o intervalo de confiança de 90% para ρ é dado por

    ρ   ∈ V - Z α 2 n - 3   ,   V + Z α 2 n - 3

    ρ   ∈ - 0.65 - 1.28 26 - 3   ,   - 0.65 + 1.28 26 - 3

    ρ ∈ ( - 0.91 ,   - 0.38 )

    Passo 2

  2. Agora precisamos testar as hipóteses H 0 :   ρ =   - 0.5 vs H a   :   ρ <   - 0.5 com o nível 0.05. Da subseção anterior (a) obtivemos que V = - 0.65 . Então, agora temos o seguinte:

    3. Z = V - 1 2 ln ⁡ 1 + ρ 0 - ln ⁡ 1 - ρ 0 1 n - 3

    = - 0.65 - 1 2 ln ⁡ 1 + - 0.5 - ln ⁡ 1 - - 0.5 1 26 - 3

    = - 0.483

    z k r i t = z 1 2 - α

    = z 0.5 - 0.1

    = N O R M S I N V 0.4

    = - 0.25

    Como temos que a estatística z é menor que o valor crítico -0.25 podemos concluir que rejeitamos hipóteses nulas e aceitamos alternativas. Então, o coeficiente de correlação é menor que -0.5.

    Passo 3

  3. Se quisermos explicar qual proporção de variância é explicada com este modelo, precisamos calcular o coeficiente de determinação da seguinte forma:

    4. r =   - 0.57

    r 2 = - 0.57 2

    = 0.33

    Como podemos ver, cerca de 33% da variância é explicada com este modelo

  4. E, finalmente, se construirmos um modelo de análise de regressão com a idade como variável dependente, precisamos ver qual proporção da variância é explicada com esse modelo. Como o r não depende de qual variável é dependente e qual é independente, essa substituição não tem efeito sobre r. Assim, a mesma proporção de variância é explicada com este modelo como na subseção (c).

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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