Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 16

O artigo “The Luminosity–Spectral Index Relationship for Radio Galaxies” (Nature, 1972, p. 88–89) propôs que, para as galáxias da classe S, ln(L178) está relacionada linearmente com o índice espectral, onde L178 representa luminosidade a 178 MHz. Aqui são apresentados os dados representativos:

a. Estime os parâmetros do modelo exponencial sugeridos pela relação linear entre ln(L178) e o índice espectral. b. Que valor de L178 seria previsto para um índice espectral de 0,75? c. Calcule um intervalo de previsão de 95% para a luminosidade quando o índice espectral é 0,95

Passo 1

O gráfico de dispersão de y versus x não mostra nenhum padrão específico. uma regressão linear não é apropriada. No entanto, o gráfico de dispersão de versus x sugere que talvez um modelo linear seja apropriado de certa forma.

É necessário ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados transformados (usando , no entanto, com um leve abuso de notação a

na verdade, representará para facilitar o entendimento) para fazer uma previsão válida e calcular um intervalo de previsão para .

A estimativa de mínimos quadrados da inclinação no modelo de regressão linear simples é

A estimativa de mínimos quadrados da interceptação é

Passo 2

As seguintes somas são necessárias para calcular as estimativas de mínimos quadrados, e são dadas no exercício (estes valores são arredondados):

Encontrando usando as somas dadas acima, a estimativa do intercepto é

Um intervalo de previsão de 95% para quando deve ser calculado.

Intervalo de previsão

é um intervalo de previsão de para uma observação futura Y, quando .

O valor de quando , usando o modelo de regressão linear simples, é

A variância de uma variável aleatória é

O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) σ por s você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória