Enunciado

O artigo “The Luminosity–Spectral Index Relationship for Radio Galaxies” (Nature, 1972, p. 88–89) propôs que, para as galáxias da classe S, ln(L178) está relacionada linearmente com o índice espectral, onde L178 representa luminosidade a 178 MHz. Aqui são apresentados os dados representativos:

a. Estime os parâmetros do modelo exponencial sugeridos pela relação linear entre ln(L178) e o índice espectral. b. Que valor de L178 seria previsto para um índice espectral de 0,75? c. Calcule um intervalo de previsão de 95% para a luminosidade quando o índice espectral é 0,95

Passo 1

O gráfico de dispersão de y versus x não mostra nenhum padrão específico. uma regressão linear não é apropriada. No entanto, o gráfico de dispersão de ln ⁡ y versus x sugere que talvez um modelo linear seja apropriado de certa forma.

É necessário ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados transformados (usando ln ⁡ y , no entanto, com um leve abuso de notação a y i

na verdade, representará ln ⁡ y i para facilitar o entendimento) para fazer uma previsão válida e calcular um intervalo de previsão para x * =   8 0 .

A estimativa de mínimos quadrados da inclinação no modelo de regressão linear simples é

A estimativa de mínimos quadrados da interceptação é

Passo 2

As seguintes somas são necessárias para calcular as estimativas de mínimos quadrados, e são dadas no exercício (estes valores são arredondados):

Encontrando y ¯   e   x ¯ usando as somas dadas acima, a estimativa do intercepto é

ln ⁡ y ^ = 42.1482 - 0.4932 x

Um intervalo de previsão de 95% para ln ⁡ y quando x * = 80 deve ser calculado.

Intervalo de previsão

é um intervalo de previsão de 100 1 - α % para uma observação futura Y, quando x   =   x * .

O valor de   ln ⁡ y ^ quando x * =   80 , usando o modelo de regressão linear simples, é

A variância de uma variável aleatória   Y ^ é

O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) σ por s você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória   Y ^ .

Passo 3

A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

A estimativa do desvio padrão σ é

A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

A fórmula computacional para SSE é

s = S S E n - 2 = 75.9930 18 = 2.1793

A estimativa do desvio padrão de   Y ^ é

Os valores necessários para calcular um intervalo de previsão de 95% podem ser encontrados acima; assim, um intervalo de previsão de 95% quando ln ⁡ x * = 2.996 é

Este é um intervalo de previsão de ln ⁡ y quando x * = 80 . Tomando o antilog um intervalo de previsão de 95% para o valor original de y quando x * =   20 é

Há muitas outras maneiras de ver a validade do ajuste; no entanto, eles não serão apresentados aqui.

Resposta

Não é bom ajuste; (0.1194,1811.9333)

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