Enunciado

Nenhum aficionado por chips de tortilla gosta de chips engordurados, de modo que é fundamental identificar características do processo de produção que resultem chips com uma textura atraente. Os dados a seguir sobre x tempo de fritura (s) e y quantidade de umidade (%) foram apresentados no artigo “Thermal and Physical Properties of Tortilla Chips as a Function of Frying Time” (J. of Food Processing and Preservation, 1995, p. 175–189).

a. Construa um gráfico de dispersão de y versus x e comente. b. Construa um gráfico de dispersão de pares (ln(x), ln(y)) e comente. c. Que relação probabilística entre x e y é sugerida pelo padrão linear no gráfico do item (b)? d. Presuma o valor da quantidade de umidade quando o tempo de fritura é 20, de uma maneira que transmita informações sobre confiabilidade e precisão. e. Analise os resíduos do ajuste do modelo de regressão linear simples aos dados transformados e comente

Passo 1

  1. O gráfico de dispersão sugere que há um padrão curvo; assim, um modelo de regressão linear simples não é apropriado
  2. Calcule o logaritmo natural de x i ,   y i ,   i   =   1,2 , … , n . A tabela a seguir contém valores de logaritmos naturais

    O gráfico de dispersão sugere uma relação linear entre as variáveis; isso, um modelo de regressão linear é apropriado.

  3. O modelo probabilístico apropriado seria
  4. y = α x β ∙ ϵ

    que é uma função de potência. Isso ocorre porque o uso do logaritmo natural de ambas as variáveis ​​produz um forte padrão linear

    Passo 2

  5. É necessário ajustar um modelo de regressão linear simples aos dados transformados para fazer uma previsão válida e calcular um intervalo de previsão para x * =   20 . A estimativa de mínimos quadrados da inclinação no modelo de regressão linear simples é
  6. S x y = ∑ x i y i - 1 n ∑ x i ∑ y i

    S x x = ∑ x i 2 - 1 n ∑ x i 2

    A estimativa de mínimos quadrados da interceptação é

    As seguintes somas são necessárias para calcular as estimativas de mínimos quadrados, e são dadas no exercício (estes valores são arredondados):

    Usando os resultados anteriores, temos que

    β ^ 1 = S x y S x x = - 4.784 4.560 = - 1.0492

    Encontrando y ¯ e x ¯ usando as somas dadas acima, a estimativa do intercepto é

    β ^ 0 = y ¯ - β ^ 1 x ¯

    = 1 8 ∙ 11.79 - - 1.0492 ∙ 1 8 ∙ 24.14

    = 4.6384

    ln ⁡ y ^ = 4.6384 - 1.0492 ∙ ln ⁡ x

    é um intervalo de previsão de 100 1 - α % para uma observação futura Y, quando x   =   x * .

    O valor de ln ⁡ y ^ quando l n   x *   =   2 . 996 , usando o modelo de regressão linear simples, é

    A variância de uma variável aleatória   Y ^ é

    O desvio padrão é a raiz quadrada da expressão. Ao substituir (estimar) σ por s você obtém a estimativa da variância e/ou desvio padrão da variável aleatória   Y ^ .

    A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

    S S E = ∑ y i - y i ^ 2 = ∑ [ y i - ( β ^ 0 + β ^ 1 x i ) ] ²

    O desvio padrão estimado é

    σ ^ = s = S S E n - 2

    A soma dos quadrados dos erros, SSE, é

    A fórmula computacional para SSE é

    Pela fórmula computacional, o valor de SSE é

    Portanto, a estimativa de σ é

    s = S S E n - 2 = 0.1260 6 = 0.1449

    A estimativa do desvio padrão de   Y ^ é

    Os valores necessários para calcular um intervalo de previsão de 95% podem ser encontrados acima; assim, um intervalo de previsão de 95% quando ln ⁡ x * =   2.996 é

    Este é um intervalo de previsão para ln ⁡ x * . Tomando o antilog um intervalo de previsão de 95% para o valor original de y quando x * =   20 é

    e 1.1192 ,   e 1.8714 = 3.0624 ,   6.4974

    Passo 3

  7. O valor ajustado   y 1 ^ ,   y 2 ^ , … y n ^ são valores obtidos substituindo x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n na linha de regressão. Os resíduos são a diferença entre os valores observados e ajustados.

Os valores ajustados foram calculados usando a linha de regressão linear simples estimada acima da seguinte forma

também, os resíduos são

A relação de resíduos versus valores ajustados mostra que existe um outlier, um resíduo muito grande. Existem dois resíduos positivos enquanto todos os outros são negativos, próximos de zero.

O gráfico de probabilidade normal dos resíduos sugere normalidade. Pode-se analisar também os resíduos padronizados, mas não é necessário.

Gráfico Residual

Gráfico de probabilidade normal

Resposta

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