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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 111

Astrônomos tratam o número de estrelas em um dado volume do espaço como sendo uma variável aleatória de Poisson. A densidade na Galáxia Via Láctea, na vizinhança de nosso sistema solar, é uma estrela por 16 anos-luz.

  1. Qual é a probabilidade de duas ou mais estrelas em 16 anos-luz?
  2. Quantos anos-luz de espaço têm de ser estudados de modo que a probabilidade de uma ou mais estrelas exceda 0.95?

Passo 1

Seja X a variável aleatória de Poisson com a média igual a E ( X ) = λ T . A função de massa de probabilidade de X:

f ( k ) = P ( X = k ) = ( λ T ) k e - λ T k ! ,   k ∈ N 0

Se a densidade for 1 estrela por 16 anos-luz cúbicos, podemos definir o parâmetro λ :

λ = 1   e s t r e l a / 16   a n o s   l u z   c ú b i c o s

e medimos T em unidades de 16 anos-luz cúbicos. Nós empregamos a fórmula substituindo o T apropriado para o problema fornecido.

Passo 2

Letra a:

Defina T = 1 (em 16 anos-luz cúbicos, é claro!) e calcule usando a expressão acima:

P ( X ≥ 2 ) = 1 - f ( 0 ) - f ( 1 ) = 0.264

Passo 3

Letra b:

Agora temos que encontrar T para que o seguinte seja válido:

P ( X ≥ 1 ) ≥ 0.95

Que se transforma em:

1 - f ( 0 ) ≥ 1 - e - 1 × T ≥ 0.95

Resolvendo T, temos:

T ≥   - l n 0.05 = 2.9957 ≈ 3

Em anos-luz cúbicos, isso significa que devemos explorar aproximadamente 3 × 16 = 48

anos-luz cúbicos de espaço para encontrar uma estrela com a certeza de 95%.

Resposta

  1. 0.264
  2. 48 anos luz cúbicos
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