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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 55

(a) Se A ,   B   e   C são independentes, prove que A   e   B ∩ C são independentes .

(b) Nas mesmas condições, prove que A ∪ B e C são independentes.

Passo 1

Bora lá!

Antes de começarmos a resolução, temos que lembrar da soma e do produto de eventos independentes:

P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B   ⇒ s o m a

P A ∩ B = P A . P B ⇒ p r o d u t o

(a) Se A ,   B   e   C são independentes, prove que A   e   B ∩ C são independentes .

Foi nos dito que A, B e C são independentes, vamos provar que A   e   B ∩ C são independentes, beleza?

Dessa forma, temos:

P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C

                                                                    = P A P B P C

                                                                    = P A P ( B ∩ C )

Portanto, provamos acima que A   e   B ∩ C são independentes. 😉

Partiu matar a letra (b)?

Passo 2

(b) Nas mesmas condições, prove que A   ∪   B   e   C são independentes.

Já que são as mesmas condições, vamos usar a mesma que usamos na letra (b), ok? Só que agora temos uma união ( ∪ ).

Foi nos dito que A ,   B   e   C são independentes , vamos provar que A   ∪   B   e   C são independentes:

P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B + P B + P C - P A ∪ B ∩ C =

= P A + P B - P A P B + P C - [ P A + P B + P C - P A P B - P A P C

                  - P B P C + P A P B P C ]

⇒ P A ∪ B ∩ C = P A P C + P A P C - P A P B P C =

                                  = P A + P B - P A P B P C

= P A ∪ B P C                                    

Portanto, provamos acima que A ∪ B e C são independentes, se A ,   B e C são independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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