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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 110

Um jogador de vídeo game é confrontado com uma série de quatro oponentes e uma probabilidade de 80 % de derrotar cada oponente.

Considere que os resultados dos oponentes sejam independentes (e que quando o jogador seja derrotado por um oponente, o jogo acabe).

  1. Qual é a probabilidade de um jogador derrotar todos os quatro oponentes em um jogo?
  2. Qual é a probabilidade de um jogador derrotar no mínimo dois oponentes em um jogo?
  3. Se o jogo for jogado três vezes, qual será a probabilidade de um jogador derrotar todos os quatro oponentes no mínimo uma vez?

Passo 1

É dado: Quando um jogador é derrotado por um oponente, o jogo termina.

P ( v i t ó r i a ) = 80 % = 0.8

n = 4

Passo 2

Na letra a:

Vamos usar a regra de multiplicação para eventos independentes:

P ( A   e   B ) = P ( A ) × P ( B )

Os resultados dos oponentes são independentes. O jogador derrota todos os 4 adversários, se ele vencer cada um dos 4 jogos. Vamos usar a regra da multiplicação para eventos independentes:

P ( 4   v i t ó r i a s ) = P ( v i t ó r i a ) 4 = 0 . 8 4 = 0.4096

Passo 3

Na letra b:

Todas as sequências possíveis do jogo são: ( W = g a n h a r e L = p e r d e r ):

L , W L , W W L , W W W L , W W W W .

Observamos que vencemos pelo menos 2 vezes nas últimas três sequências.

A regra de complemento é:

P ( ñ   A ) = 1 - P ( A )

Então, usando essa regra, vamos determinar a probabilidade de perder:

P ( L ) = 1 - P ( W ) = 1 - 0.8 = 0.2

Usando a regra da multiplicação para determinar a probabilidade de uma vitória e depois

uma perda:

P ( W L ) = P ( W ) × P ( L ) = 0.8 × 0.2 = 0.16

Usando a regra do complemento:

P ( p e l o   m e n o s   2   v i t ó r i a s ) = 1 - P ( L ) - P ( W L ) = 1 - 0.2 - 0.16 = 0.64

Passo 4

Agora na letra c:

Vamos usar a regra do complemento para determinar a probabilidade de não ter 4 vitórias:

P ( ñ   4   v i t ó r i a s ) = 1 - P ( 4   v i t ó r i a s ) = 1 - 0.4096 = 0.5904

Supondo que os jogos sejam independentes, use a multiplicação para eventos independentes:

P ( 3   v e z e s   ñ   4   v i t ó r i a s ) = P ( ñ   4   v i t ó r i a s ) 3 = 0.590 4 3 ≈ 0.2058

Vamos usar a regra do complemento de novo:

P ( p e l o   m e n o s   4   v i t ó r i a s ) = 1 - P ( 3   v i t ó r i a s   ñ   4   v i t ó r i a s ) =   1 - 0.2058   =   0.7942

Resposta

  1. 0.4096
  2. 0.64
  3. 0.7942
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