Uma caixa contém 10 envelopes fechados numerados de 1,..., 10. Os cinco primeiros não têm dinheiro, os três seguintes têm US$ 5 cada e, em cada um dos dois últimos, há uma nota de US$ 10. Uma amostra de tamanho 3 é selecionada com reposição para obtermos uma amostra aleatória, e você ganha a quantia maior em qualquer um dos envelopes escolhidos. Se X 1 , X 2 e X 3 representam as quantias nos envelopes selecionados, a estatística de interesse é M = o máximo de X 1 , X 2 e X 3 .

a. Obtenha a distribuição de probabilidades dessa estatística.

b. Descreve como você conduziria um experimento de simulação para comparar as distribuições de M dos diversos tamanhos de amostra. Como você faria para adivinhar a mudança da distribuição à medida que n aumenta?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos esse exercício precisamos apenas organizar as informações do enunciado e distribuirmos as probabilidades. Bora lá!!

Passo 2

A variável aleatória pode assumir os valores 0 , 5 e 10 . Para encontrarmos a probabilidade M = 0 só existe um caminho, os 3 envelopes precisam estar sem dinheiro, então:

P M = 0 = 0,5.0,5.0,5 = 0,125

Para que o máximo seja 10, deve haver pelo menos um envelope de 10 dólares. Portanto:

P M = 10 = 1 - P ( 0 envelopes com US$ 10 )

= 1 - 0,8 3

P M = 10 = 0,488

Por fim, a última probabilidade é calculada como:

P M = 5 = 1 - P M = 0 - P ( M = 0 )

= 1 - 0,125 - 0,488

P M = 5 = 0,488

Então, o pmf está calculado acima!!

Passo 3

Existe um método de simulação bem conhecido para isso. O primeiro passo seria gerar números de 0 a 9 aleatoriamente (uniformemente). Cada digito representa um valor, por exemplo, os dígitos de 0 a 4 (5 dígitos) representam o valor de 0 dólares, e assim sucessivamente.

Quando a probabilidade for P ( M = 0 ) iria diminuir à medida que n aumenta, e para P ( M = 10 ) aumentaria à medida que n aumenta. Por fim, a última probabilidade também aumentaria à medida que n aumenta, porém mais lentamente.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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