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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 29

Calcule o coeficiente de correlação ρ de X e Y do Exemplo 5.16 (a covariância já foi calculada).

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Antes de tudo, vou deixar aqui o que foi calculado no Exemplo 5.16 e as fórmulas que iremos usar na resolução do exercício.

No Exemplo 5.16, foi dado a covariância e o valor esperado:

C o v X ,   Y = - 2 75

E X = E Y = 2 5

E o que queremos encontrar é o coeficiente abaixo:

ρ X , Y = C o v X ,   Y σ X ∙ σ Y

Mas antes, vamos precisar encontrar as variâncias das duas variáveis aleatórias. Bora lá!!

Passo 2

Para calcularmos a variância, usamos a fórmula abaixo:

V X = E X 2 - E X 2

Encontrando E ( X 2 ) .

E X 2 = ∫ 0 1 x 2 f X x d x

= 12 ∫ 0 1 x 3 ( 1 - 2 x + x 2 ) d x

= 12 ∙ 1 4 - 2 5 + 1 6

= 1 5

Logo, a variância é:

V X = 1 5 - 2 5 2

V X = 1 25

Da mesma forma para Y , encontraremos o mesmo valor de variância neste exemplo.

Por fim, o coeficiente de correlação é:

ρ X ,     Y = C o v X ,   Y σ X ∙ σ Y

= - 2 / 75 1 / 25 1 / 25

ρ X ,     Y = - 2 3

Resposta

ρ X ,     Y = - 2 3

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