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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatistica Mauri Guerra estatistica indutiva- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios propostos - Ex. 1c

Num certo ano, foi feito um levantamento numa empresa, mês a mês, a respeito do custo total de fabricação por unidade produzida ( Y ), em cruzeiros, em função do gasto com matéria-prima ( X 1 ), em mil cruzeiros, e do número de funcionários ( X 2 ). Efetuando os cálculos dos somatórios necessários ao cálculo da regressão, obtivemos:

Pede-se:

  1. Dar a equação da regressão linear múltipla.

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vem comigo!

A regressão linear múltipla é a regressão em que sabemos como K variáveis contribuem para a realização do fenômeno, e a parte funcional da regressão é uma função linear. Onde a estimativa da equação de regressão é dada por:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ⋯ + b k X k

Onde as estimativas a , b 1 , b 2 , ⋯ , b k dos coeficientes α , β 1 , β 2 , ⋯ , β k podem ser calculadas pelo método dos mínimos quadrados, partindo de hipóteses análogas aquelas adotadas pela regressão linear simples.

Para o caso de ter apenas duas variáveis explicativas:

Y ^ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2

Para encontrarmos os valores de a , b 1 e b 2 , iremos utilizar as equações:

O cálculo das médias ( Y , X 1 e X 2 ) são dadas pelas seguintes equações:

Para as variâncias vamos usar as equações:

E para as covariâncias:

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício. Pelo enunciado, conseguimos identificar que o levantamento da empresa foi feito mês a mês, durante um ano, ou seja:

n = 12

Primeiramente iremos calcular as médias de Y , X 1 e X 2 , respectivamente:

Y - = 114 12 = 9,5

X - 1 = 576 12 = 48

X - 2 = 612 12 = 51

O cálculo das variâncias:

S 11 = 28248 - 576 2 12 = 600

S 22 = 31662 - 612 2 12 = 450

S Y Y = 1113 - 114 2 12 = 30

E das covariâncias:

S Y 1 = 5592 - 114 ∙ 576 12 = 120

S Y 2 = 5914 - 114 ∙ 612 12 = 100

S 21 = S 12 = 29766 - 576 ∙ 612 12 = 390

Passo 3

Com esses valores, finalmente conseguimos calcular os valores de b 2 , b 1 e a :

b 2 = 100 390 - 120 600 450 390 - 390 600 = 0,112

b 1 = 100 390 - 450 390 ∙ 0,112 = 0,127

a = 9,5 - 0,127 ∙ 48 - 0,112 ∙ 51 = - 2,308

Por fim, temos a equação da regressão linear múltipla:

Y ^ = - 2,308 + 0,127   X 1 + 0,112   X 2

Prontinho pessoal, até mais!

Resposta

Y ^ = - 2,308 + 0,127   X 1 + 0,112   X 2 .

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