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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 70

Há uma chance de 50-50 de que a rainha seja portadora do gene da hemofilia. Se ela é portadora, então cada um dos príncipes tem uma chance de 50-50 de ter hemofilia. Se a rainha tiver tido três príncipes sadios, qual é a probabilidade de ela ser portadora? Se houver um quarto príncipe, qual é a probabilidade de que ele venha a desenvolver a hemofilia?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos identificar os eventos primeiramente

C - A   r a i n h a   é   p o r t a d o r a

E i - o   i - é s i m o   f i l h o   d a   r a i n h a   é   h e m o f í l i c o  

Com isso, temos as seguintes probabilidades

P C = 1 2

E com as condições

P E i C = 1 2

E para o complementar, nós temos

P E i C C = 0

O queremos calcular são as probabilidades P ( C | E 1 C E 2 C E 3 C ) e P ( E 4 | E 1 C E 2 C E 3 C )

Passo 2

Para a primeira probabilidade, vamos iniciar com a definição de probabilidade condicional

P C E 1 C E 2 C E 3 C = P C E 1 C E 2 C E 3 C P ( E 1 C E 2 C E 3 C )

Condição sobre se a rainha é uma portadora

P C E 1 C E 2 C E 3 C = P E 1 C E 2 C E 3 C C P C P E 1 C E 2 C E 3 C C P C +   P E 1 C E 2 C E 3 C C C P C C

Aplicando a independência condicional dos E i – que basicamente é a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades, nós temos que

P C E 1 C E 2 C E 3 C = P E 1 C C P E 2 C C P E 3 C C P ( C ) P E 1 C C P E 2 C C P E 3 C C P C + P E 1 C C C P E 2 C C C P E 3 C C C P C C

Substituindo os valores, obtemos o seguinte resultado

P C E 1 C E 2 C E 3 C = 1 2 4 1 2 4 + 1 3 ∙ 1 2 = 1 9

Passo 3

Para a segunda probabilidade, mesma linha lógica de pensamento, vamos aplicar o teorema de Bayes nesse caso, logo

P E 4 E 1 C E 2 C E 3 C = P E 4 C E 1 C E 2 C E 3 C + P ( E 4 C C | E 1 C E 2 C E 3 C )

Manipulando um pouco mais esse termo, nós obtemos o seguinte resultado

P E 4 E 1 C E 2 C E 3 C = P E 4 C P C E 1 C E 2 C E 3 C + P E 4 C C P C C E 1 C E 2 C E 3 C

Substituindo os resultados,

P E 4 E 1 C E 2 C E 3 C = 1 2 ∙ 1 9 + 0 ∙ 8 9 = 1 18

Resposta

P C E 1 C E 2 C E 3 C = 1 9

P E 4 E 1 C E 2 C E 3 C = 1 18

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