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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 29

Na regra de sucessão de Laplace (Exemplo 5e), mostre que se as primeiras n jogadas dão cara, então a probabilidade condicional de que as próximas m jogadas também deem cara é igual a (n + l)/(n + m + 1).

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver a sucessão de Laplace:

No exemplo 5e haviam os seguintes dados:

C i -A moeda com probabilidade i k de cair cara é escolhida, i = 0,1 , … , k

F n - As primeiras n jogadas de uma moeda escolhida saem cara.

A jogada numero H n + 1 - m + 1 sai cara.

Passo 2

Fazendo a probabilidade condicional da moeda escolhida, teremos:

P H n + 1 F n = ∑ i = 0 k i k n + 1 ∑ j = 0 k j k n

Para um numero k muito grande podemos fazer a aproximação:

1 k ∑ i = 0 k i k n ≅ ∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1

Logo:

P H n + 1 F n ≅ n + 1 n + 2

Passo 3

Agora generalizando para P ( H n + m H n + m - 1 … H n + 1 | F n ) :

Utilizando a formula de probabilidade condicional:

P H n + m H n + m - 1 … H n + 1 F n = P H n + m H n + m - 1 … H n + 1 F n P F n

Expandindo o termo de cima:

= P H n + m | H n + m - 1 … H n + 1 F n ⋅ P H n + m - 1 | H n + m - 2 … H n + 1 F n ⋅ … ⋅ P ( F n ) P F n

Simplificando por P ( F n ) :

= P H n + m | H n + m - 1 … H n + 1 ⋅ P H n + m - 1 | H n + m - 2 … H n + 1 ⋅ … ⋅ P ( H n + 1 | F n )

= P H n + m | H n + m - 1 ⋅ P H n + m - 1 | H n + m - 2 ⋅ … ⋅ P ( H n + 1 | F n )

Agora aplicando P H n + 1 F n = ∑ i = 0 k i k n + 1 ∑ j = 0 k j k n em todos os termos, poderemos cortar (soma telescópica) os termos intermediários e sobrará somente:

P H n + 1 F n = ∑ i = 0 k i k n + m ∑ j = 0 k j k n

Passo 4

Agora aplicando a aproximação que deduzimos no passo 2:

1 k ∑ i = 0 k i k n ≅ ∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1

1 k ∑ i = 0 k i k n + m ≅ ∫ 0 1 x n + m d x = 1 n + m + 1

Substituindo:

P H n + 1 F n = n + 1 n + m + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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