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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 40

Considere uma amostra de 3 bolas retirada da seguinte maneira: começamos com uma urna contendo 5 bolas brancas e 7 bolas vermelhas. Em cada rodada, uma bola é retirada da urna e sua é cor anotada. A bola é então devolvida para a urna, juntamente com uma bola adicional de mesma cor. Determine a probabilidade da amostra conter exatamente

(a) 0 bolas brancas;

(b) 1 bola branca;

(c) 3 bolas brancas;

(d) 2 bolas brancas.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos identificar os eventos

A 1 - A   p r i m e i r a   b o l a   r e t i r a d a   é   b r a n c a

A 2 - A   s e g u n d a   b o l a   r e t i r a d a   é   b r a n c a

A 3 - A   t e r c e i r a   b o l a   r e t i r a d a   é   b r a n c a

Agora, passando para as probabilidades, temos a configuração inicial da urna

P A 1 = 5 12 → P A 1 C = 7 12

Cada vez que uma bola é retirada, ela é substituída por duas bolas da mesma cor (da que foi sorteada), o número total de bolas sempre aumenta em um, então:

P A 2 A 1 = 6 13   ,     P A 2 A 1 C = 5 13

P A 3 A 1 A 2 = 7 14 ,     P A 3 A 1 A 2 C = 6 14

P A 3 A 1 C A 2 = 6 14 ,     P A 3 A 1 C A 2 C = 5 14

Nós vamos partir para os cálculos, então vamos lá

Passo 2

A – 0 bolas brancas - p 0

Da definição de eventos A 1 , A 2 e A 3 , nós podemos ver a seguinte coisa:

p 0 = P ( A 1 C A 2 C A 3 C )

Com isso, podemos utilizar a regra da multiplicação, com isso

P A 1 C A 2 C A 3 C = P A 3 C A 1 C A 2 C ∙ P A 2 C A 1 C ∙ P ( A 1 C )

A probabilidade condicional satisfaz o axioma da probabilidade, então para quaisquer eventos X,Y

P X Y = 1 - P ( X C | Y )

Então

P A 2 C A 1 C = 1 - P A 2 A 1 C = 1 - 5 13 = 8 13

E

P A 3 C A 1 C A 2 C = 1 - P A 3 A 1 C A 2 C = 1 - 5 14 = 9 14

Podemos juntar as probabilidades e substituir os valores

P A 1 C A 2 C A 3 C = 9 14 ∙ 8 13 ∙ 7 12 = 3 13 ≈ 23,08 %

Com isso, temos que

p 0 = 3 13 ≈ 23,08 %

Passo 3

B – Mesmo raciocínio da letra a, com mais termos dentro da regra da multiplicação

p 1 = P A 1 A 2 C A 3 C + P A 1 A 2 C A 3 C + P ( A 1 A 2 C A 3 )

Separando e calculando as probabilidades para a multiplicação

P A 1 A 2 C A 3 C = P A 3 C A 1 A 2 C ∙ P A 2 C A 1 ∙ P A 1

P A 1 A 2 C A 3 C = P A 3 C A 1 C A 2 ∙ P ( A 2 | A 1 C )

P A 1 A 2 C A 3 C = P A 3 A 1 C A 2 C ∙ P A 2 C A 1 C ∙ P ( A 1 C )

Disso, podemos encontrar os valores das seguintes probabilidades:

P A 2 C A 1 = 1 - P A 2 A 1 = 1 - 6 13 = 7 13

P A 3 C A 1 A 2 C = 1 - P A 3 A 1 A 2 C = 1 - 6 14 = 8 14

P A 3 C A 1 A 2 C = 1 - P A 3 A 1 C A 2 = 1 - 6 14 = 8 14

Substituindo isso nas primeiras variáveis, nós temos que

p 1 = 8 14 ∙ 7 13 ∙ 5 12 + 8 14 ∙ 5 13 ∙ 7 12 + 5 14 ∙ 8 13 ∙ 7 12 = 5 39

Esse valor é aproximadamente 0,1282 . Portanto

p 1 ≈ 12,82 %

Passo 4

C – Nesse caso, já é um pouco menos trabalhoso, da definição dos eventos dos eventos nós temos a seguinte probabilidade nesse caso

p 3 = P ( A 1 A 2 A 3 )

Pela regra da multiplicação podemos inferir que

P A 1 A 2 A 3 = P A 3 A 1 A 2 ∙ P A 2 A 1 ∙ P ( A 1 )

Substituindo os valores das probabilidades, nós obtemos o seguinte resultado

P A 1 A 2 A 3 = 7 14 ∙ 6 13 ∙ 5 12 = 5 52 ≈ 9,62 %

Portanto,

p 3 ≈ 9,62 %

Passo 5

D - São escolhidas 0,1,2 ou 3 bolas brancas. Todos são mutuamente exclusivos, com isso, nós temos

p 0 + p 1 + p 2 + p 3 = 1

Fazendo uma manipulação, nós obtemos

p 2 = 1 - p 0 - p 1 - p 3

Agora é somente substituir os valores

p 2 = 1 - 3 13 - 5 39 - 5 52 = 85 156 ≈ 54,49 %

Resposta

a )   p 0 = 3 13

b )   p 1 = 5 39

c )   p 3 = 5 52

d )   p 2 = 85 156

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