Considere uma comunidade escolar de m famílias, com n i delas possuindo i crianças, i = 1,...,k,   ∑ i = 1 k n i = m . Considere os dois métodos a seguir para selecionar uma criança:

1. Escolha uma das m famílias aleatoriamente e então selecione aleatoriamente uma criança daquela família.

2. Escolha uma das   ∑ i = 1 k i n i , crianças aleatoriamente.

Mostre que o método 1 tem probabilidade maior do que o método 2 de resultar na escolha de um filho primogénito.

Dica: Ao resolver o problema, você precisará mostrar que ∑ i = 1 k i n i ∑ j = 1 k n f j ≥ ∑ i = 1 k n i   ∑ j = 1 k n j . Para fazer isso, multiplique as somas e mostre que, para todos os pares i, j, o coeficiente do termo n i   n j é maior na expressão à esquerda do que aquele à direita.

Passo 1

E aí.....tudo belezinha?

Considerando que   A ⊂ B , a intersecção destes conjuntos será igual a B, sendo assim:

P A B = P B ⋂ A P B = P B P B = 1

Considerando isso vemos, que o complementar de B, se torna o A, sendo assim a segunda expressão fica:

P A B c = P A ⋂ B c P A = P A ⋂ A P A = 0

Para a terceira expressão teremos:

P B A =   P A ⋂ B P A = P B P A

Para a última expressão teremos que, o complementar de A não deve pertencer nem a A nem a B, e como o A contém o B, a intersecção entre esses eventos não existirá e consequentemente a probabilidade também não.

P B A c = P B ⋂ A c P A c = ∄

E agora, bora para a próxima questão =)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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