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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 3a

3. Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo. (a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.

(b) Calcule as médias e variâncias de X e Y.

(c) Obtenha as distribuições condicionais de X, dado que Y = 0, e de Y, dado que X = 1.

Passo 1

(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.

Primeiro, vamos dar nome aos bois... ou seja, vamos colocar em cada espaço vazio uma incógnita.

A partir daí é só ir com calma e lembrar que a soma de uma linha/coluna tem que ser igual ao último valor da mesma.

  • 2ª coluna:

    • 1 12 + d + 1 4 = i → i = 4 12 + d → i = 1 3 + d

    Como eles são independentes, sabemos que

    i × 1 3 = d → i 3 = d → i = 3 d

    Substituindo na equação anterios, temos:

    3 d = 1 3 + d → 3 d - d = 1 3 → 2 d = 1 3 → d = 1 6

    Assim

    i = 3 d → i = 3 × 1 6 → i = 1 2

  • 2ª linha com 2ª coluna:

    • Podemos calcular c, pois por serem independentes sabemos que:

    i × c = 1 12 → 1 2 × c = 1 12 → c = 1 6

  • 5ª coluna:

    • Sabemos que a soma da 5ª coluna deve ser igual a 1, portanto

    c + 1 3 + h = 1 → 1 6 + 1 3 + h = 1 → h = 1 - 3 6 → h = 1 2

  • 4ª linha com 4ª coluna:

    • Podemos calcular k por serem independentes. Temos:

    h × k = 1 4 → 1 2 × k = 1 4 → k = 1 2

  • 5ª linha:

    • Sabemos que a soma da última linha deve ser igual a 1, portanto

    i + j + k = 1 → 1 2 + j + 1 2 = 1 → j = 0

  • 3ª coluna

    • Como descobrimos que j = 0 e sabemos que os eventos são independentes, temos:

    a = e = g = 0

  • 3ª linha com 4ª coluna:

    • Por eles serem independentes, podemos afirmar que:

    k × 1 3 = f → 1 2 × 1 3 = f → f = 1 6

  • 2ª linha com 4ª coluna:

k × c = b → 1 2 × 1 6 = b → b = 1 12

UFA! Acabamos!!!

Substituindo os valores encontrados na tabela, temos:

Passo 2

(b) Calcule as médias e variâncias de X e Y.

Sabemos que

E X = ∑ i = 1 n x i . P ( X = x i )

Portanto

E X = ∑ i = - 1 1 x i . P X = x i = - 1 . 1 2 + 0 . 0 + 1 . 1 2 = 0

E Y = ∑ j = 1 n y j . P X = y j = - 1 . 1 6 + 0 . 1 3 + 1 . 1 2 = 1 3

Para o cálculo da V a r ( X ) precisamos lembrar da seguinte fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2

Portanto, precisamos calcular E ( X 2 ) e E ( Y 2 )

E X 2 = - 1 2 . 1 2 + 0 2 . 0 + 1 2 . 1 2 = 1

E Y 2 = - 1 2 . 1 6 + 0 2 . 1 3 + 1 2 . 1 2 = 2 3

Substituindo nas fórmulas, temos:

V a r X = 1 - 0 2 = 1

V a r Y = 2 3 - 1 3 2 = 5 9

Passo 3

(c) Obtenha as distribuições condicionais de X, dado que Y = 0, e de Y, dado que X = 1.

Para calcularmos a condicional, precisamos lembrar da fórmula da probabilidade. Vamos lembrar juntos?

P A B = P A ∩ B P B

Bom, sabemos na tabela que as probabilidades marginais representam a probabilidade de cada variável aleatória em um certo ponto, enquanto os outros componentes das tabelas são as probabilidades conjuntas, da interseção.

Quando a questão pede a distribuição condicional de X, dado que Y=0, queremos:

P X = - 1 Y = 0

P X = 0 Y = 0

P X = 1 Y = 0

Partiu para as contas então?

i ) P X = - 1 Y = 0

P X = - 1 Y = 0 = P X = - 1 ,   Y = 0 P Y = 0

Olhando para a tabela, sabemos que P X = - 1 ,   Y = 0 = 1 6 , portanto

P X = - 1 Y = 0 = P X = - 1 ,   Y = 0 P Y = 0 = 1 6 1 3 = 1 2

i i ) P X = 0 Y = 0

P X = 0 Y = 0 = P X = 0 ,   Y = 0 P Y = 0

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 0 ,   Y = 0 = 0 , portanto

P X = 0 Y = 0 = P X = 0 ,   Y = 0 P Y = 0 = 0

i i i ) P X = 1 Y = 0

P X = 1 Y = 0 = P X = 1 ,   Y = 0 P Y = 0

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 1 ,   Y = 0 = 1 6 , portanto

P X = 1 Y = 0 = P X = 1 ,   Y = 0 P Y = 0 = 1 6 1 3 = 1 2

Montando a nossa tabela, temos:

Passo 4

Usaremos o mesmo raciocínio do passo anterior para saber a outra probabilidade condicional.

Dessa vez, queremos a probabilidade condicional de Y, dado que X = 1 . Queremos:

P Y = - 1 X = 1

P Y = 0 X = 1

P Y = 1 X = 1

Partiu?

i )   P Y = - 1 X = 1

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 1 ,   Y = - 1 = 1 12 , portanto

P Y = - 1 X = 1 = P X = 1 ,   Y = - 1 P X = 1 = 1 12 1 2 = 1 6

i i )   P Y = 0 X = 1

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 1 ,   Y = 0 = 1 12 , portanto

P X = 0 Y = 0 = P X = 1 ,   Y = 0 P X = 1 = 1 6 1 2 = 1 3

i i i )   P Y = 1 X = 1

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 1 ,   Y = 1 = 1 4 , portanto

P Y = - 1 X = 1 = P X = 1 ,   Y = 1 P X = 1 = 1 4 1 2 = 1 2

Montando a nossa tabela, temos:

Resposta

(a)

(b) E X = 0 ;   E Y = 1 3 ;     V a r X = 1 ;     V a r Y = 5 9 .

(c)

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