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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 2a

A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y.

(a) Determine as distribuições marginais de X e Y.

(b) Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y.

(c) Verifique se X e Y são independentes.

(d) Calcule P ( X = 1 | Y = 0 ) e P ( Y = 2 | X = 3 ) .

(e) Calcule P ( X ≤ 2 ) e P ( X = 2 ,   Y ≤ 1 ) .

Passo 1

(a) Determine as distribuições marginais de X e Y.

Vamos lá!

Da tabela do enunciado podemos obter facilmente as distribuições de X e Y. A primeira e última colunas da tabela dão a distribuição de Y, (y, p(y)), enquanto a primeira e última linhas da tabela dão a distribuição de X, (x, p(x)). Essas distribuições são chamadas DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS.

Vamos fazer alguns exemplos?

P X = 1 = P X = 1 ,   Y = 0 + P X = 1 ,   Y = 1 + P X = 0 ,   Y = 2 = 0,1 + 0,2 + 0 = 0,3

P Y = 0 = P X = 1 ,   Y = 0 + P X = 2 ,   Y = 0 + P X = 3 ,   Y = 0 = 0,1 + 0,2 + 0 = 0,3

Seguindo esse raciocínio, podemos montar as nossas tabelas das distribuições marginas de X e Y.

Passo 2

(b) Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y.

Sabemos que

E X = ∑ i = 1 n x i . P ( X = x i )

Portanto

E X = ∑ i = - 1 1 x i . P X = x i = 1 . 0,3 + 2 . 0,2 + 3 . 0,5 = 2,2

E Y = ∑ j = 1 n y j . P X = y j = 0 . 0,3 + 1 . 0,5 + 2 . 0,2 = 0,9

Para o cálculo da V a r ( X ) precisamos lembrar da seguinte fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2

Portanto, precisamos calcular E ( X 2 ) e E ( Y 2 )

E X 2 = 1 2 . 0,3 + 2 2 . 0,2 + 3 2 . 0,5 = 5,6

E Y 2 = 0 2 . 0,3 + 1 2 . 0,5 + 2 2 . 0,2 = 1,3

Substituindo nas fórmulas, temos:

V a r X = 5,6 - 2,2 2 = 0,76

V a r Y = 1,3 - 0,9 2 = 0,49

Passo 3

(c) Verifique se X e Y são independentes.

Não, pois P X = 1 Y = 0 = 0,1 ≠ P X = 1 P Y = 0 = 0,09

Passo 4

(d) Calcule P ( X = 1 | Y = 0 ) e P ( Y = 2 | X = 3 ) .

Para calcularmos a condicional, precisamos lembrar da fórmula da probabilidade. Vamos lembrar juntos?

P A B = P A ∩ B P B

Bom, sabemos na tabela que as probabilidades marginais representam a probabilidade de cada variáveil aleatória em um certo ponto, enquanto os outros componentes das tabelas são as probabilidades conjuntas, da interseção.

Quando a questão pede a distribuição condicional de X, dado que Y=0, queremos:

P X = 1 Y = 0

P Y = 2 X = 3

Partiu para as contas então?

i )   P X = 1 Y = 0

P X = 1 Y = 0 = P X = 1 ,   Y = 0 P Y = 0

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 1 ,   Y = 0 = 0,1 , portanto

P X = - 1 Y = 0 = P X = 1 ,   Y = 0 P Y = 0 = 0,1 0,3 = 0,33

i i )   P Y = 2 X = 3

P Y = 2 X = 3 = P X = 3 ,   Y = 2 P X = 3

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 3 ,   Y = 2 = 0,1 , portanto

P Y = 2 X = 3 = P X = 3 ,   Y = 2 P X = 3 = 0,1 0,5 = 0,2

Passo 5

(e) Calcule P ( X ≤ 2 ) e P ( X = 2 ,   Y ≤ 1 ) .

  1. P X ≤ 2

    2. P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 = 0 + 0,3 + 0,2 = 0,5

  2. P ( X = 2 ,   Y ≤ 1 )

Primeira coisa que devemos olhar são quais eventos estão aí dentro:

-   P Y ≤ 1 = P Y = 0 + P Y = 1

Então queremos

P X = 2 ,   Y = 0 + P X = 2 ,   Y = 1

i )   P X = 2 Y = 0

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 2 ,   Y = 0 = 0,1 , portanto

P X = 2 Y = 0 = P X = 2 ,   Y = 0 P Y = 0 = 0,1 0,3 = 0,33

i i )   P X = 2 Y = 1

Olhando para a tabela, sabemos que P X = 2 ,   Y = 1 = 0 , portanto

P X = 2 Y = 1 = P X = 2 ,   Y = 1 P Y = 1 = 0 0,5 = 0

Logo

P X = 2 ,   Y = 0 + P X = 2 ,   Y = 1 = 0,33 + 0 = 0,33

Resposta

(a)

(b) E X = 2,2 ;     E Y = 0,9 ;     V a r X = 0,76 ;     V a r Y = 0,49

(c) Não, pois P X = 1 Y = 0 = 0,1 ≠ P X = 1 P Y = 0 = 0,09

(d) P X = 1 Y = 0 = 0,33 P Y = 2 X = 3 = 0,2

(e) P X ≤ 2 = 0,5                     P X = 2 Y ≤ 1 = 0,33

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