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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 30

Considere duas caixas, uma contendo 1 bola de gude branca e 1 branca, e a outra contendo 2 bolas de gude brancas e 1 branca. Uma caixa é selecionada aleatoriamente e uma bola de gude é retirada de forma aleatória. Qual é a probabilidade de que a bola de gude seja preta? Qual é a probabilidade de que a primeira caixa tenha sido selecionada dado que a bola de gude é branca?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!!

Primeiro, vamos entender os eventos, o enunciado nos diz qual caixa será escolhida, com suas devidas condições, então por esse motivo, nós temos que

I - A   p r i m e i r a   c a i x a   é   e s c o l h i d a

I I - I C   A   s e g u n d a   c a i x a   é   e s c o l h i d a

B - A   b o l a   d e   g u d e   b r a n c a   é   a   e s c o l h i d a

P = B C   A   b o l a   d e   g u d e   p r e t a   é   a   e s c o l h i d a

Agora, vamos para algumas probabilidades já descritas no enunciado, desde que as caixas são escolhidas aleatoriamente, como temos apenas duas caixas, temos a seguinte relação

P I = P I I = 1 2

Como os conteúdos da caixa já são conhecidos, também temos as seguintes probabilidades

P B I = 1 2   e   P P I = 1 2

E

P B I I = 1 3   e   P P I I = 2 3

Passo 2

A probabilidade de sair bola preta é igual a condição das duas caixas, ou seja, todas as probabilidades já mencionadas vão ser utilizadas para encontrar a probabilidade da bola de gude preta. Com isso, nós temos que:

P P = P P I P I + P P I I P I I

Substituindo os valores, nós temos que

P P = 1 2 × 1 2 + 2 3 × 1 2 = 1 4 + 2 6 = 3 + 4 12

Com isso, a probabilidade da bola de gude ser preta é igual a 7 12 .

Passo 3

A probabilidade da primeira caixa ser escolhida dado que a bola é branca é dada da seguinte forma

P I B = P I B P B  

Como a bola de gude branca é igual a complemento da bola de gude preta, ou seja, B = P C e nós já temos a probabilidade da bola de gude preta P P = 7 12 , logo a probabilidade das brancas é igual a

P B = 1 - P P = 1 - 7 12 = 5 12

Usando um uso diferente da definição de P ( B | I ) , temos que

P I B = P B I P I = P I B = 1 2 × 1 2 = 1 4

Nós temos todos os elementos para encontrar o complementar

P I B = 1 / 4 5 / 12 = 12 20 = 3 5

Resposta

P P = 7 / 12

P I B = 3 / 5

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