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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 23

Uma sacola contém a bolas brancas e b bolas pretas. Bolas são tiradas da sacola de acordo com o seguinte método:

1. Uma bola é escolhida aleatoriamente e descartada.

2. Escolhe-se em seguida uma segunda bola. Se sua cor é diferente da bola anterior, ela é recolocada na sacola e o processo é repetido a partir do início. Se sua cor é a mesma, ela é descartada e começamos do passo 2. Em outras palavras, bolas são amostradas e descartadas até que uma mudança de cor ocorra, momento no qual a última bola é devolvida para a urna e o processo começa de novo. Seja P a , b a probabilidade de a última bola na sacola ser branca. Demonstre que

P a , b = 1 2

Dica: Use indução em k   ≡ a + b

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro, vamos identificar os eventos

E a , b -   u m a   b o l a   b r a n c a   é   a   ú l t i m a   n a   u r n a ,   c o m e ç a n d o   c o m   a   b o l a s   b r a n c a s   e   b   p r e t a s .

W - t o d a s   a s   b o l a s   b r a n c a s   s ã o   s o r t e a d a s   p r i m e i r o

B -   t o d a s   a s   b o l a s   p r e t a s   s ã o   s o r t e a d a s   p r i m e i r o

Tendo em mente que o conjunto é a , b ∈ N = { 1,2 , 3 , … }

Passo 2

Para tudo a , b ∈ N tal que a + b = n = 1 , que é a = b = 1 a fórmula é verdade, a última bola na urna é branca com probabilidade 1 2 .

Suponha que para alguns n ∈ N e para todos a , b ∈ N tais que a + b < n

P a , b = 1 / 2

Pegando qualquer a , b ∈ N tais que a + b = n . W , B , W c , B c são mutuamente exclusivos que compõem todo o espaço de resultados, portanto, podemos aplicar a fórmula da probabilidade total, portanto

P E a , b = P E a , b W c B c P W c B c + P E a , b B P B + P E a , b W P ( W )

Argumentando que

P E a , b W c B c = P E i , j = 1 2 ,     i + j < n

Porque, se nem todas as bolas pretas ou todas as brancas forem removidas. O processo de retirar as bolas está começando do início, com pelo menos uma bola a menos (o primeiro sorteado).

Se todas as bolas de uma cor forem sorteadas, as probabilidades são diretas:

P E a , b W = 0   e   P E a , b B = 1

Passo 3

Entretanto, P ( W ) e P ( B ) tem a seguinte propriedade

P W = a a + b ∙ a - 1 a + b - 1 ∙ … 1 b + 1 = a ! a + b ! = a ! b ! a + b !

E

P B = b a + b ∙ b - 1 a + b - 1 ∙ … 1 a + 1 = b ! a + b ! a ! = a ! b ! a + b !

Com isso, nós temos que

P W = P ( B )

Com isso, temos a seguinte propriedade

P E a , b =   P E a , b W c B c P W c B c + P E a , b B P B + P E a , b W P ( W )

Logo, temos a seguinte propriedade

P E a , b = 1 2 P W c B c + 0 + 1 ∙ P ( W )

E com isso, obtemos o seguinte resultado

P E a , b = 1 2 P W c B c + P W + P B = 1 2 ∙ 1 = 1 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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