Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Exercícios Teóricos - Ex. 12c
Considere a identidade combinatória a seguir:
(c) Mostre agora que
(n k) k3 = 2^n-3 n2 n+3
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos entender um pouco mais sobre contagem.
c) Para demonstrarmos esta igualdade vamos seguir o mesmo raciocínio do item (b) mas agora queremos escolher um presidente, uma secretaria e um tesoureiro, sendo que uma pessoa pode ocupar mais de um cargo.
Passo 2
Pelo primeiro raciocínio vamos fixar um comitê com número de pessoas, e escolher essas pessoas dentre as disponíveis. Isto pode ser feito de maneiras. E depois disto, dentre as pessoas escolhidas precisamos escolher um presidente ( opções) e uma secretaria ( opções) e um tesoureiro ( opções). Pelo princípio multiplicativo, podemos fazer isto de .
Mas como queremos que este comitê seja de qualquer tamanho, vamos somar todos os tamanhos de comitês possíveis:
Passo 3
Agora para escolher primeiro os cargos principais e depois decidir quem entra ou não no comitê, precisaremos dividir em 3 casos diferentes:
Ou há 3 pessoas, cada uma com cada cargo, ou há duas pessoas, uma ocupando dois cargos e outra um único cargo, ou há uma única pessoa ocupando os 3 cargos.
Primeiro vamos pensar no caso onde há uma única pessoa para os 3 cargos, teremos que escolher esta pessoa dentre as pessoas no total ( possibilidades), e depois decidir quem das pessoas restantes vai entrar ou não ( formas). Pelo PFC isto poderia ser feito de:
Formas de se fazer isto.
Ou a secretaria e o presidente são a mesma pessoa, teríamos formas de escolher ela e formas de escolher o tesoureiro, e formas de decidir entre as pessoas restantes quem entra ou não no comitê. Pelo PFC há:
Formas de se fazer isto.
Ou a secretaria e o presidente NÃO são a mesma pessoa, mas o tesoureiro é um deles, há formas de escolher o presidente e formas de se escolher a secretaria e 2 formas de se escolher o tesoureiro (ou a pessoa que é o presidente ou a secretaria) e ainda há pessoas para decidirem se entra ou não no comitê. Pelo PFC há:
Formas de se fazer isto.
Ou cada um é uma pessoa diferente, havendo formas de se escolher o presidente e formas de se escolher a secretaria e formas de se escolher o tesoureiro e restando pessoas que poderiam entrar no comitê de formas diferentes. Pelo PFC há:
Formas de se fazer isto.
Como estas são todas as possibilidades, vamos utilizar o princípio aditivo (“ou”) para encontrar o resultado final:
Colocando em evidencia:
Fazendo a distributiva e somando:
Colocando novamente em evidencia:
Passo 4
Como tanto no passo 2 quanto no passo 3 estávamos contando a mesma coisa os resultados devem ser iguais, então:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)