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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 49

Considere a A N O V A com α = 2 tratamentos. Mostre que a M Q E nessa analise é igual à estimativa da variância combinada usada no teste t de duas amostras.

Passo 1

Bom galera, considerando o ANOVA de a = 2 tratamentos. O modelo linear relativo ao modelo de efeitos fixos é:

Y i j = μ + τ i + ε i j i = 1,2 j = 1,2 , … , n

Onde Y i j é uma variável aleatória denotando a observação i j , μ é um parâmetro comum para todos os tratamentos chamados de média geral, τ i é um parâmetro associado com o tratamento i chamando o efeito de tratamento i e ε i j é um componente de erro aleatorizado. Nós podemos assumir que os erros ε i j são distribuídos normalmente e independentemente com media zero e variância σ 2 . Vamos usar y - i para representar a média das observações sob o tratamento i , assim temos:

y - i = ∑ j = 1 n y i j n

Passo 2

Belezinha, a soma dos quadrados dos desvios médios é dada por:

M S E = 1 a n - 1 ∑ i = 1 a ∑ j = 1 n y i j - y - i . 2

= 1 2 n - 1 ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 n y i j - y - i . 2

= 1 2 n - 2 ∑ j = 1 n y 1 j - y - 1 . 2 + ∑ j = 1 n y 2 j - y - 2 . 2

= 1 n + n - 2 ∑ j = 1 n y 1 j - y - 1 . 2 + ∑ j = 1 n y 2 j - y - 2 . 2

Isso é semelhante à estimativa de variância agrupada utilizada no teste t de duas amostras, onde os tamanhos da amostra são iguais, ou seja:

n 1 = n 2 = n

As duas médias amostrais são, respectivamente, y - 1 . e y - 2 . .

Resposta

As média amostrais são y - 1 . e y - 2 . .

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